f(a+x) = (4(a+x)-5)/(2(a+x)+4)
f(a+x) = (4x+4a-5)/(2x+2a+4)

f(a-x) = (4(a-x)-5)/(2(a-x)+4)
f(a-x) = (4a-4x-5)/(2a-2x+4)

f(a+x)+f(a-x) = (4x+4a-5)/(2x+2a+4) + (4a-4x-5)/(2a-2x+4)

f(x+a)+f(x-a) = [(4x+4a-5)(2a-2x+4) +(4a-4x-5)(2x+2a+4)]/[(2x+2a+4).(2a-2x+4)]

f(x+a)+f(x-a) = (-8x²+26x+8a²+6a-20 +8a²+6a-8x²-26x-20 )/(-4x²+4a²+16a+16)
f(x+a)+f(x-a) = (-16x²+16a²+12a-40)/(-4x²+4a²+16a+16)
f(x+a)+f(x-a) = (-4x²+4a²+3a-10)/(-x²+a²+4a+4)
f(x+a)+f(x-a) = 4(-x²+a²+(3/4)a-(5/2))/(-x²+a²+4a+4)

Si (3/4)a - (5/2) = 4a + 4   (1)
On aurait:
f(x+a)+f(x-a) = 4(-x²+a²+4a+4)/(-x²+a²+4a+4)
f(x+a)+f(x-a) = 4  
(1/2)[f(x+a)+f(x-a)] = 2   indépendant de x.

Cela signifie que le point de coordonnées (a ; 2) est centre de symétrie
de la courbe représentant f(x)

(1) ->
(3/4)a - (5/2) = 4a + 4
(3/4)a - (10/4) = (16/4)a + (16/4)
3a - 10 = 16a + 16
13a = -26
a = -2

Le point de coordonnées (-2 ; 2) est centre de symétrie de la courbe
représentant f(x).
-----
Sauf distraction.

la fonction étant une hyperbole, vous savez très bien qu'elle
a un centre de symétrie qui le point d'intersection de ses assymptotes.

Cette fonction a deux assymptotes :

la droite d'équation x=-2  (c'est l'ascisse qui annule
le dénoménateur)

la droit y = 2 ; car limf(x)=2 en +oo.

Les deux droites x=-2 et y=2 se rencontrent au point (-2,2) qui le centre
de symétrie de la courbe de f.


encore une fois s'il le fallait essayez de faire simple, rigueureux
et précis. C'est comme cela qu'on développe un apprentissage
progressif des maths.

je vous remercie.

Tu as raison watik, il faut essayer de faire simple tout en restant
rigoureux.

La méthode que j'ai employée est un rien plus longue (surtout parce
que j'ai détaillé les developpements au maximum). Cette méthode
offre cependant le grand intérêt de rester valable quelle que soit
la fonction à étudier.

Ta méthode est un peu plus rapide mais n'est applicable que pour
certains types de fonctions, et encore faut-il que l'étudiant
soit capable, à son niveau, de reconnaître la fonction hyperbole
et connaitre la propriété (même si elle paraît évidente) que le point
de rencontre de ses asymptotes est un centre de symétrie de la courbe
représentant la fonction.

La méthode que j'ai employée est basée directement sur la définition
du centre de symétrie, la tienne sur une propriété des fonctions
hyperboles.
Les 2 sont valables et tout aussi rigoureuses.

A+