Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour finir la résolution de cette exercice.
Soit P un espace affine euclidien de dimension 2 muni d'un repère direct (O,i,j). On définit f ->P par
Démontrer que f est une isométrie affine: ça c'est bon j'ai trouvé que c'était une symétrie glissée avec la direction de l'axe de reflexion qui vaut < (cos(pi/8),sin(pi/8))>. Cependant je n'arrives pas à déduire le vecteur de translation de la symétrie glissé ni à trouver un point de l'axe de la reflexion affine. La direction de f est la reflexion vectorielle d'axe D=< (cos(pi/8),sin(pi/8))> donc f=t_u o s_d avec d=<"un point de l'axe de la reflexion affine ",D> et u un vecteur dans Ker (f fleche - Id). Cependant je n'arrives pas à trouver un point de l'axe de reflexion affine ni à déterminer exactement u si ce n'est que u est dans D d'après le théorème de structure.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonsoir,
f est une symétrie par rapport à une droite.
Pas une symétrie glissée ( sauf si on dit que le vecteur de translation est le vecteur nul ).
Bonsoir, oups en effet ! J'ai oublié, il faut sommer le vecteur colonne (1,0) après la multiplication matricielle !
Bonjour,
est une translation quand est une symétrie glissée.
Je te laisse calculer le vecteur de cette translation en fonction de celui de .
Un conseil :
Faire une figure avec un axe et v un vecteur directeur de la droite .
g = tvoS
M un point quelconque (pas sur , c'est mieux).
Placer M' image de M par g ; puis M" image de M' par g.
Et tu comprendras pourquoi gog est une translation et quel en est le vecteur.
Tu peux aussi te contenter d'utiliser tvoS = Sotv, pour simplifier gog.
Bonsoir, merci à tous pour vos réponses !
Pour mettre au clair les choses on a la fonction
Par sa forme on sait que c'est une application affine et est un endomorphisme orthogonal, une reflexion d'axe donc est une isométrie affine. Un calcul montre que f n'a pas de point fixe donc c'est une symétrie glissée ie: avec d une droite dirigée par .
Pour trouver j'ai calculé et j'ai calculé et j'ai trouvé donc car . J'en déduis donc la valeur de . Pouvez confirmer mon raisonnement jusqu'ici ?
Bonjour,
Pour le raisonnement, il manque un petit quelque chose ici :
Bonsoir !
Merci lake, en effet il faut remplacer les - par des +.
Sylvieg, j'en suis consciente mais il me semble que la définition de f flèche permet de conclure que c'est forcément une symétrie glissée.
bonjour,
vieux souvenir de mathelem
f peut s'écrire en complexe avec (on remplace (x,y) par (x,-y) et on
modifie la matrice pour en faire une matrice de rotation en changeant 2 signes)
on retrouve l'affixe du vecteur c'est à dire (a+1)/2 de la translation
d'autre part
Dans la matrice initiale on trouve les 2 vecteurs propres associés respectivement aux valeurs propres 1 et -1 dont l'une est colinéaire au vecteur de translation, l'axe de la symétrie affine peut être déterminé en calculant par exemple qui est l'affixe d'un point de l'axe dont on connait déjà la direction.
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