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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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symétrie glissée

Posté par
loulouetlilou
01-04-21 à 20:56

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour finir la résolution de cette exercice.
Soit P un espace affine euclidien de dimension 2 muni d'un repère direct (O,i,j). On définit f ->P par
f((x,y))=\begin{pmatrix} \sqrt{2}/2&\sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}
Démontrer que f est une isométrie affine: ça c'est bon j'ai trouvé que c'était une symétrie glissée avec la direction de l'axe de reflexion qui vaut < (cos(pi/8),sin(pi/8))>. Cependant je n'arrives pas à déduire le vecteur de translation de la symétrie glissé ni à trouver un point de l'axe  de la reflexion affine. La direction de f est la reflexion vectorielle d'axe  D=< (cos(pi/8),sin(pi/8))> donc f=t_u o s_d avec d=<"un point de l'axe de la reflexion affine ",D> et u un vecteur dans Ker (f fleche - Id). Cependant je n'arrives pas à trouver un point de l'axe de reflexion affine ni à déterminer exactement u si ce n'est que u est dans D d'après le théorème de structure.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : symétrie glissée 01-04-21 à 21:01

Bonjour,
As-tu cherché les points invariants ?

Posté par
verdurin
re : symétrie glissée 01-04-21 à 21:03

Bonsoir,
f est une symétrie par rapport à une droite.
Pas une symétrie glissée ( sauf si on dit que le vecteur de translation est le vecteur nul ).

Posté par
GBZM
re : symétrie glissée 01-04-21 à 21:45

Bonsoir,

N'aurais-tu pas oublié un morceau de la transformation f ?

Posté par
loulouetlilou
re : symétrie glissée 01-04-21 à 22:39

Bonsoir, oups en effet ! J'ai oublié, il faut sommer le vecteur colonne (1,0) après la multiplication matricielle !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : symétrie glissée 01-04-21 à 23:21

fof ?

Posté par
loulouetlilou
re : symétrie glissée 02-04-21 à 09:00

Sylvieg @ 01-04-2021 à 23:21

fof ?

Que voulez-vous dire ?

Posté par
verdurin
re : symétrie glissée 02-04-21 à 09:06

Bonjour,
f\circ f est une translation quand f est une symétrie glissée.

Je te laisse calculer le vecteur de cette translation en fonction de celui de f.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : symétrie glissée 02-04-21 à 10:10

Un conseil :
Faire une figure avec un axe et v un vecteur directeur de la droite .
g = tvoS
M un point quelconque (pas sur , c'est mieux).
Placer M' image de M par g ; puis M" image de M' par g.
Et tu comprendras pourquoi gog est une translation et quel en est le vecteur.

Tu peux aussi te contenter d'utiliser tvoS = Sotv, pour simplifier gog.

Posté par
loulouetlilou
re : symétrie glissée 03-04-21 à 20:13

Bonsoir, merci à tous pour vos réponses !
Pour mettre au clair les choses on a la fonction
f((x,y))=\begin{pmatrix} \sqrt{2}/2&\sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}
Par sa forme on sait que c'est une application affine et \vec{f } est un endomorphisme orthogonal, une reflexion d'axe <\begin{pmatrix} cos(\pi/8)\\sin(\pi/8) \end{pmatrix}> donc f est une isométrie affine. Un calcul montre que f n'a pas de point fixe donc c'est une symétrie glissée ie: f=t_{\vec{u}}\circ S_d avec d une droite dirigée par \begin{pmatrix} cos(\pi/8)\\sin(\pi/8) \end{pmatrix} .
Pour trouver \vec{u} j'ai calculé f \circ f(O) et j'ai calculé \vec{O f(f(O))} et j'ai trouvé  \begin{pmatrix}-( \sqrt{2}-2)/2 \\ -\sqrt{2}/2\end{pmatrix}   donc 2\vec{u}=\begin{pmatrix}-( \sqrt{2}-2)/2 \\ -\sqrt{2}/2\end{pmatrix} car f \circ f=t_{2\vec{u}. J'en déduis donc la valeur de \vec{u} . Pouvez confirmer mon raisonnement jusqu'ici ?

Posté par
lake
re : symétrie glissée 03-04-21 à 22:12

Bonsoir,

Il arrive un moment où un dessin peut-être salutaire :

  symétrie glissée

Posté par
lake
re : symétrie glissée 04-04-21 à 11:49

Pour 20h13, la méthode est bonne mais tu as des erreurs de signe.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : symétrie glissée 04-04-21 à 12:04

Bonjour,
Pour le raisonnement, il manque un petit quelque chose ici :

Citation :
Un calcul montre que f n'a pas de point fixe donc c'est une symétrie glissée
Il y a des isométries sans point fixe qui ne sont pas des réflexions glissées.

Posté par
loulouetlilou
re : symétrie glissée 08-04-21 à 20:32

Bonsoir !

Merci lake, en effet il faut remplacer les - par des +.

Sylvieg, j'en suis consciente mais il me semble que la définition de f flèche permet de conclure que c'est forcément une symétrie glissée.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : symétrie glissée 08-04-21 à 20:39

D'accord. Mais la phrase citée, sortie de son contexte, peut prêter à confusion.

Posté par
loulouetlilou
re : symétrie glissée 10-04-21 à 13:59

Sylvieg @ 08-04-2021 à 20:39

D'accord. Mais la phrase citée, sortie de son contexte, peut prêter à confusion.

C'était clair dans ma tête mais il est vrai comme je l'ai dis ça pouvait prêter à confusion

Posté par
DOMOREA
symétrie glissée 11-04-21 à 09:44

bonjour,
vieux souvenir de mathelem
f peut s'écrire en complexe  f(z)=z'=\overline{z}+1 avec a=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i (on remplace (x,y)  par (x,-y) et on
modifie la matrice pour en faire une matrice de rotation en changeant 2 signes)
f°f(z)=a(\overline{a\overline{z}+1})+1=z+a+1 on retrouve l'affixe du vecteur \vec{u} c'est à dire  (a+1)/2 de la translation
d'autre part
Dans la matrice initiale  on trouve les 2 vecteurs propres associés respectivement aux valeurs propres 1 et -1 dont l'une est colinéaire au vecteur de translation, l'axe de la symétrie affine peut être déterminé en calculant par exemple \frac{f(0)-\frac{a+1}{2}}{2}=(1-a)/4 qui est l'affixe d'un point de l'axe dont on connait déjà la direction.

Posté par
loulouetlilou
re : symétrie glissée 13-04-21 à 15:31

Bonjour, le professeur a donné une correction, je pense avoir bien compris, merci à tous.



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