Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Géometrie plane et dans l'espaceTopics traitant de Géometrie plane et dans l'espace [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Symétrie glissée.

Posté par
matheux14 16-04-21 à 20:55

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Soit (\Delta) une droite de vecteur directeur \vec{u}.

On propose l'étude de l'isométrie f=t_{\vec{u}} \circ S_{(\Delta)}.

Soit M un point, M1 son image par t_{\vec{u}} ,  M' l'image de M1 par S(∆).

Symétrie glissée.

a) Soit et M2 l'image de M par S(∆).

Prouver que M'=tu(M) puis que  t_{\vec{u}} \circ S_{(\Delta)}= S_{(\Delta)} \circ t_{\vec{u}} .

b) Demontrer que S_{(\Delta)}\circ t_{\vec{u}} n'admet pas de point invariant (utiliser un raisonnement par l'absurde).

c) Quel est l'effet de f sur les angles orientés.
Prouver que : f \circ f =t_{2\vec{u}}.

Réponses

a) * On a :

S(∆)
-------|---------
M        | M2
M1     | M'

==> MM2 =M1M' tel que \vec{MM_{2}} \Delta et \vec{M_{1}M'} \Delta.

==> \vec{MM_{2}} // \vec{M_{1}M'} ==> \vec{M_{2}M'}=\vec{MM_{1}}.

Or M_{1}=t_{\vec{u}(M). Donc \vec{MM_{1}}=\vec{u}=\vec{M_{2}M'}

==> t_{\vec{u}}(M_{2})=M'.

* t_{\vec{u}} \circ S_{(\Delta)}(M)=t_{\vec{u}}[ S_{(\Delta)}(M)]=t_{\vec{u}[M_{2}]=M'.

*   S_{(\Delta)} \circ t_{\vec{u}}(M)=[ S_{(\Delta)}\circ t_{\vec{u}}] (M)=S_{(\Delta)}(M_{1})=M' car MM2 =M1M' tel que vec(MM2) (Delta) et vec(M1M') (Delta).

Donc   t_{\vec{u}} \circ S_{(\Delta)}(M)= S_{(\Delta)} \circ t_{\vec{u}}(M)=M' .

C'est à dire   t_{\vec{u}} \circ S_{(\Delta)}= S_{(\Delta)} \circ t_{\vec{u}} .

b) Supposons que   t_{\vec{u}} \circ S_{(\Delta)} admet un point variant O.

C'est à dire   t_{\vec{u}} \circ S_{(\Delta)}(O)=0 , puisque   t_{\vec{u}} \circ S_{(\Delta)}= S_{(\Delta)} \circ t_{\vec{u}} .

On a  t_{\vec{u}} \circ S_{(\Delta)} (O)=  t_{\vec{u}}[S_{(\Delta)}O] =O.

* Si O \in (\Delta)  alors   t_{\vec{u}} \circ S_{(\Delta)}(O)=t_{\vec{u}}(O)=O. Absurde car \vec{u} \neq \vec{0} (1)


* Si O \notin (\Delta) alors   t_{\vec{u}} \circ S_{(\Delta)}(O)=t_{\vec{u}}[S_{(\Delta)}(O)]=t_{\vec{u}}(O')=O absurde car O n'appartient pas à (Delta).

D'après (1) et (2) ,   S_{(\Delta)} \circ t_{\vec{u}} n'admet pas de point invariant.

c) Soit (\vec{v} ;\vec{w}) un angle orienté.

Construisons l'image de  (\vec{v} ;\vec{w}) par f.

f[(\vec{v} ;\vec{w})]=(\vec{v'} ;\vec{w'}) (voir figure).

On a bien (\vec{v} ;\vec{w})=(\vec{v'} ;\vec{w'})

On en déduit que f n'a aucun effet sur les angles orientés.

d) f \circ f =[t_{\vec{u}}\circ S_{(\Delta)}] \circ [S_{(\Dleta)} \circ t_{\vec{u}}]=t_{\vec{u}} \circ t_{\vec{u}}=t_{2\vec{u}}

Symétrie glissée.

Posté par
co11re : Symétrie glissée. 16-04-21 à 23:58

Bonsoir ..... vite fait, désolée
a)

Citation :
Prouver que M'=tu(M)

c'est plutôt prouver que M' = tu (M2 ),ce que tu essaie de faire d'ailleurs.
Mais je ne suis pas convaincue par ta démonstration.
Par exemple, ton tableau d'images donne  MM1 = M2M' et non MM2 =M1M'
Je suggère plutôt de regarder l'image par s de la droite (MM1) qui est parallèle à

En revanche, d'accord pour l'orthogonalité avec , donc les droites(MM2) et (M1M') sont parallèles

+ faut-il distinguer les cas où M appartient à ou non ?

Ce sera tout pour ce soir.
Peut-être quelqu'un d'autre interviendra-t-il .

Posté par
co11re : Symétrie glissée. 17-04-21 à 00:11

a) et b) seront à poursuivre

c) revoir ton dessin .....
Effet sur les angles orientés :
d'une translation ?
d'une symétrie axiale ?
et donc de la composée ?

Posté par
matheux14re : Symétrie glissée. 17-04-21 à 00:39

D'accord

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Symétrie glissée. 17-04-21 à 08:27

Bonjour,
Pour a), il est peut-être plus simple de faire intervenir les milieux K et L de [M1M'] et [MM2].
Et démontrer que les quadrilatères MM1KL et M2MKL sont des parallélogrammes.

Posté par
matheux14re : Symétrie glissée. 17-04-21 à 10:24

J'ai pas recopié quelque chose , peut être que cela pourrait le rendre parfait

Citation :
a) * On a :

S(∆)
-------|---------
M        | M2
M1     | M'

==> MM2 =M1M' tel que \vec{MM_{2}} \Delta et \vec{M_{1}M'} \Delta.

==> \vec{MM_{2}} // \vec{M_{1}M'} et {\blue{\vec{MM2}=\vec{M1M'}}}==> \vec{M_{2}M'}=\vec{MM_{1}}.

Or M_{1}=t_{\vec{u}(M). Donc \vec{MM_{1}}=\vec{u}=\vec{M_{2}M'}

==> t_{\vec{u}}(M_{2})=M'

Posté par
matheux14re : Symétrie glissée. 17-04-21 à 10:47

Ok Sylvieg

Soit K le projeté orthogonal de M sur \Delta et L celui de M1 sur \Delta.

On a alors  \vec{MM1}=\vec{KL} ==> le quadrilatère MM1KL est un parallélogramme. On a :

S(∆)
_________________
M           | M2
M1        | M'

et K\in \Delta et L\in \Delta donc

S(∆)
_________________
K           | K
L            | L

C'est à dire que l'image du parallélogramme MM1LK par S(∆) est le quadrilatère KLM'M2.

Par conséquent KLM'M2 est un parallélogramme.

==> \vec{KL}=\vec{M2M'} et \vec{MM1}=\vec{KL}=\vec{u}

==> \vec{KL}=\vec{MM1}=\vec{M2M'}=\vec{u}

\vec{M2M'}=\vec{u} ==> M'=t_{\vec{u}}(M2)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Symétrie glissée. 17-04-21 à 10:48

Pourquoi MM2 = M1M' ?
Et si tu faisais des phrases pour expliciter tes raisonnements ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Symétrie glissée. 17-04-21 à 10:50

Messages croisés.
Oublie ma 1ère ligne.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Symétrie glissée. 17-04-21 à 10:52

"\vec{MM1}=\vec{KL}" est faux.
Et si tu utilises une autre égalité, il faut la justifier.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Symétrie glissée. 17-04-21 à 10:54

Oups !
Tu as échangé L et K par rapport à moi.
"\vec{MM1}=\vec{KL}" est bon.
Mais il faut le justifier.

Posté par
matheux14re : Symétrie glissée. 17-04-21 à 10:56

D'accord donc j'insère car K est le projeté orthogonal de M sur (∆) et L celui de M1 sur (∆)

Posté par
matheux14re : Symétrie glissée. 17-04-21 à 11:02

Et aussi que {\blue{t_{\vec{u}}M=M1}}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Symétrie glissée. 17-04-21 à 11:08

Je ne vois pas quel raisonnement tu fais.
Une égalité de longueur suffit très rarement pour démontrer un parallélogramme.
Car le quadrilatère pourrait être croisé.

Sans utiliser d'égalité de longueurs, que peux-tu dire des côtés du quadrilatère MM1KL ?

Posté par
matheux14re : Symétrie glissée. 17-04-21 à 11:15

\vec{MM1}=\vec{KL} avec K le projeté orthogonal de M sur \Delta et L celui de M1 sur \Delta.

Posté par
matheux14re : Symétrie glissée. 17-04-21 à 11:16

Et \vec{MK}=\vec{M1L}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Symétrie glissée. 17-04-21 à 11:36

Ce n'est toujours pas justifié.
Quand on projette deux points A et B sur une droite en A' et B', on peut ne pas avoir \vec{A'B'} = \vec{AB}, ni \vec{AA'} = \vec{BB'}

Je ne vais plus être disponible. Mais co11 va peut-être revenir

Posté par
matheux14re : Symétrie glissée. 17-04-21 à 11:37

Oui , je vois.

Bonne journée

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Symétrie glissée. 17-04-21 à 16:21

Je suis revenue.
Pour a),
Si le point M est sur la droite , alors M2=M.
De plus, le point M1 est alors sur ; donc M'=M1.
D'où l'égalité de vecteurs \; M2M' = MM1 = .

Si le point M n'est pas sur , soit K et L les projetés des points M et M1 sur la droite .
Justifie que les côtés du quadrilatère MM1KL sont parallèles deux à deux.
Le quadrilatère MM1LK est donc un parallélogramme.
Une suite possible :
\vec{M_2M}' = \vec{M_2K} + \vec{KM} + \vec{MM_1}+\vec{M_1L}+\vec{LM'}
Utilise K et L milieux pour trouver \; \vec{M_2M}' = \vec{u} .

Posté par
matheux14re : Symétrie glissée. 17-04-21 à 16:50

Ok ,

K et L étant les projetés orthogonaux de M et M1 sur (\Delta) et M_{1}=t_{\vec{u}}M ==> \vec{MM_1}=\vec{u}=\vec{KL}.

\vec{MM_{1}}=\vec{KL} ==> le quadrilatère MM1LK est un parallélogramme.

\vec{M_2M}' = \vec{M_2K} + \vec{KM} + \vec{MM_1}+\vec{M_1L}+\vec{LM'}

K milieu de [M2M] et L milieu de [M'M1].

==> \vec{M_2M}' =2 \vec{M_2K}  + \vec{MM_1}+2\vec{M_1L}

\vec{M_{2}K}=\vec{KM}=\vec{LM_1}

==> \vec{M_2M'}=2\vec{KM}+2\vec{MK}+\vec{MM_1}=\vec{MM_1}=\vec{u}

==> \vec{M_2M'}=\vec{u}

==> M'=t_{\vec{u}}M_2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Symétrie glissée. 17-04-21 à 17:04

Citation :
\vec{MM_1}=\vec{u}=\vec{KL}.
A démontrer.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Symétrie glissée. 17-04-21 à 17:06

Citation :
Justifie que les côtés du quadrilatère MM1KL sont parallèles deux à deux.

Posté par
matheux14re : Symétrie glissée. 17-04-21 à 18:00

On a M_1=t_{\vec{u}}M \Rightarrow \vec{MM_1}=\vec{u} (1)

Le projeté orthogonal de M sur \Delta est K et celui de M1 est L.

==> \vec{MM_1}=\vec{KL} et [MK] () et [M1L] () (2)

(1) et (2) ==> Le quadrilatère MM1LK est un parallélogramme.

==> [MK] // [M1L] et [MM1] // [KL]

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Symétrie glissée. 17-04-21 à 18:11

\vec{MM_1}=\vec{KL} n'est toujours pas démontré.

Une figure avec K et H projetés de M et N :
Symétrie glissée.

Posté par
matheux14re : Symétrie glissée. 17-04-21 à 18:24

Ah oui , mince alors

matheux14 @ 17-04-2021 à 18:00

On a M_1=t_{\vec{u}}M \Rightarrow \vec{MM_1}=\vec{u} (1)

Le projeté orthogonal de M sur \Delta est K et celui de M1 est L.

On a [MM1] // \vec{u} car M_1=t_{\vec{u}}M ==> \vec{MM_1}=\vec{KL} et [MK] () et [M1L] () (2)

(1) et (2) ==> Le quadrilatère MM1LK est un parallélogramme.

==> [MK] // [M1L] et [MM1] // [KL]

Posté par
co11re : Symétrie glissée. 17-04-21 à 20:21

Rebonsoir,
j'ai un peu laissé tomber car je ne vois pas trop pourquoi il serait plus simple de passer par les milieux  K et L, mais vous êtes partis là dessus et je vous laisse poursuivre.

Je reviens sur ce post car j'ai l'impression que matheux14 s'inspire trop des figures pour en conclure des propriétés qui ne sont pas évidentes, voire fausses. Ton message de 18h11 Sylvieg a dû l'aider, enfin j'espère.

Un peu de retour qui, j'espère sera utile :
- si A et B ont pour images A' et B' par une isométrie, on en déduit AB = A'B' et non AA' = BB'
- Il s'agit de pouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme en utilisant des côtés parallèles ( sauf si M , cas vite réglé)

J'espère ne pas trop avoir perturbé ce post.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !