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Symétrie orthogonale
Bonsoir,
J'ai une question concernant une symétrie orthogonale. On a une droite d'équation : D : 2x+3y=1
On pose S la symétrie par rapport à la droite D. On pose S(x,y)=(X,Y) et on veut exprimer X et Y en fonction de x et y.
Pour ce faire, j'ai utilisé l'application symu(w)=w-2(<w,v>/<v,v>)v
où u est un vecteur directeur de D et v un vecteur normal à D.
D'une part, est-ce que c'est valide pour trouver la partie linéaire ? Et comment faire pour trouver la translation ?
salut
pourquoi ne pas (re)construire la solution à partir d'une réflexion plutôt qu'une application bête et stérile d'une formule ... puisque tu ne maîtrises pas la situation ...
un simple dessin donne quasiment la réponse ...
J'ai pas tout compris dans ta phrase, mais j'ai fait le dessin. J'ai donc une droite sur mon cahier.
Donc, est-ce valide ? Comment faire pour trouver la translation ? Suffit il de trouver le y correspondant a x=0 ?
Personne a l'air décidé à répondre donc je relance, je ne vois toujours pas comment faire avec ma droite et je ne sais toujours pas si ce que j'ai fait, au combien bête et stérile, fonctionne.
Bonsoir,
Je vais te répondre , mais "ma" méthode n'est pas très savante.
Soit et son symétrique
par rapport à
.
J'écris deux choses :
1/ que le milieu de est sur
2: que le vecteur est orthogonal à (D)
ce qui donne un système qui permet d'exprimer et
en fonction de
et de
.
D'accord merci, on aurait donc : X-x+(3/2)(Y-y)=1
X-x-(2/3)(Y-y)=0
de quoi exprimer X et Y en fonction de y et x, c'est ça ?
Je trouve un résultat différent de celui que j'ai avec l'application que j'ai utilisée. La question est donc la même qu'au début. Est elle valide ?
Ta formule collerait dans un espace vectoriel (où il n'y a qu'une seule origine, le vecteur 0, mais alors l'équation de la droite serait 2x+3y=0).
Ici, on est dans un espace affine et la droite ne passe pas par l'origine.
Oui, c'est faisable.
Je reviens en arrière, il y a des erreurs de signes dans le système de 18:51, c'est
X+x+(3/2)(Y+y)=1
X-x-(2/3)(Y-y)=0
Je trouve la même chose si on prend que la partie linéaire. Mais la il y a une translation que je sais pas comment déterminer avec l'application.
X=5x/13 -12y/13+4/13
Y= -12x/13-5y/13+6/13
Comment retrouver cette translation ?
Bonsoir,
Une approche un peu différente qui fait le lien entre la géométrie et l'algèbre:
est la réflexion d'axe la droite
d'équation
est la réflexion d'axe la parallèle à
passant par
est leprojeté orthogonal de
sur
et
On a (la translation de vecteur
d'où
Sur la figure avec
est la partie linéaire de ta transformation.
est la translation dont tu parles plus haut.
u c'est donc s(0,0)
Non, tu confonds points et vecteurs.
Voyons, la projection d'un point (ici l'origine du repère) sur une droite dont tu connais une équation.
Les coordonnées du point
On obtient deux équations à deux inconnues.
salut
pourquoi ne pas (re)construire la solution à partir d'une réflexion plutôt qu'une application bête et stérile d'une formule ... puisque tu ne maîtrises pas la situation ...
un simple dessin donne quasiment la réponse ...
on pouvait considérer le point A de coordonnées (-1, 1) et qui donc appartient à la droite d
alors pour tout point M on a OM = OA + AM et on peut alors appliquer la symétrie vectorielle associée ... puisqu'on travaille maintenant avec des vecteurs ...
Bonsoir lake,
Tu m'as devancé . Avec brio, as usual 
Pour finir l'autre aspect. Sous forme matricielle
Tu retrouves la réflexion d'axe la parallèle à passant par
, suivie de la translation de vecteur
pour reprendre les notations de lake
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