salut

placer les points et lire (leurs coordonnées) n'est pas calculer ...

mais bon dans le cas présent c'est tellement élémentaire car particulier ...

par contre on peut quand même dire éventuellement quelque chose en français ...

Comment on peut calculer ces coordonnées ?

Voici le dessin.

certaines symétries conservent certaines coordonnées ...

mais je l'ai dit ce cas est tellement élémentaire que je pense qu'il suffit de les donner en donnant éventuellement un argument ...

Ok

(OI) est la médiatrice du segment [AB] donc les projetés des points A et B sur (OI) sont confondus, A et B ont même absicces et des ordonnés opposés.

(OJ) est médiatrice de [AC] donc les projetés des points A et C sur (OJ) sont confondus , A et C ont alors même ordonnés et des abscisses opposés.

J'aimerais tout de même savoir comment calculer ces coordonnées.

Alors , c'est ça?

J'ai fais ce que vous avez demandé alors pourquoi vous ne repondez pas ?

Bonjour,
Ce que tu as écrit à 19h34 ne justifie pas les opposés.
Le plus simple est d'invoquer les expressions analytiques des deux symétries orthogonales. je pense que ça peut être considéré comme du cours.

Pour la question 2)a), que dire de la composée des deux symétries orthogonales ?

Remarque : Dommage que l'énoncé attribue la même lettre D pour une droite et un point.

Ok

L'expression analytique de la symétrie orthogonale d'axe (OI) est:
x'=x
y'=-y

Donc B(-2 ; -3)

L'expression analytique de la symétrie orthogonale d'axe (OJ) est:

x'=-x
y'=y

C(2 ; 3)

La question 2) ne parle pas de composée de symétrie orthogonale mais bon :
_ si les deux axes sont parallèles , on obtient une translation de vecteur 2OO' ( O au premier axe et O' est le projeté orthogonal de O sur le deuxième axe)

_ si les axes sont sécantes , on obtient une rotation de centre le point de courcours de ces axes et d'angle 2(u₁ ; u₂) avec u₁ et u₂ des vecteurs directeurs de ces axes.

_si les axes perpendiculaires , on obtient une symétrie centrale le centre le point de courcours de ces axes.

Tu as raison, je suis hors sujet.
carpediem est revenu ; je le laisse reprendre la main

Sylvieg : tu peux rester !! (j'ai du boulot et des cours à préparer !!)

tout de même :

on ne sait pas comment justifier ici (question1/) car c'est tellement simple

on peut donner immédiatement l'expression analytique (comme Sylvieg) ou invoquer tout autant (il me semble) la définition géométrique avec médiatrice qui sont les axes donc qui donne immédiatement a réponse ...

pour a question 2/ : symétrie d'axe d'équation y = x on peut "argumenter" plus

si M et M' sont symétrique par rapport à cet axe alors :

1/ que peut-on dire du vecteur OM + OM' ?
2/ que peut-on dire des vecteurs OM et OM' ?

ce qui permet d'obtenir le résultat ...

_ OM+OM'=2OM=2OM' car (D) est médiatrice de [MM'] et tout point de trouvant sur (D) est équidistant des points M et MC.

Pour les vecteurs OM et OM: , je ne vois pas ce qu'on peut dire mais je sais que

est un vecteur directeur de (D)

faux ...

Faux pour OM+OM' ou pour (OM , u)=(u , OM') ?

et pourtant tu en as fait des exercices la-dessus !!

soit I le milieu du segment [MM'] ...

OM + OM' = ...

et que peut-on dire de I ?

conclusion ?

d'autre part voir mon 2/ à 9h31 .... ou utilise rle produit scalaire ...(enfin à voir)

c'est évidemment des vecteurs !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Pas remarqué

OM+OM'=2OI ( vecteurs)

2/ je ne vois toujours pas ce qu'on peut dire

ben travaille avec les coordonnées M(x, y),M'(x', y') ... et que sait-on évidemment sur I ?

2\vec{OI}(x+x' ; y+y' )

où se trouve le point I ?

I est milieu de [MM']

ha ben enfin !!

conclusion ?

I(D)

=>x'+x=y'+y

=> 0=0

?

Dsl , je me suis trompé , c'est plutôt

x+x'=y+y'
=> x'=y-x+y'

Qu'est ce je suis sensé faire maintenant ?

ensuite tu as OM =OM' <=> x^2 + y^2 = x'^2 + y'^2

ce qui donne une nouvelle relation ...

donc avec deux relations tu devrais pouvoir exprimer x' et y' en fonction de x et y ...

x²+y²=x'²+y'² or x'=y'+y-x

=> x²+y²=(y-x+y')²+y'²
=> x²+y²=[(y-x)+y']²+y'²
=> x²+y²=(y-x)²+2(y-x)y'+y'²+y'²
=> x²+y²=y²-2xy+x²+2(y-x)y'+2y'²
=> -2xy+2(y-x)y'+2y'²=0

=> 2y'(y'+(y-x))-2xy=0 or y'+y-x=x'

=> 2y'x'=2xy

=> x'y'=xy

Je bloque ici.

Bonsoir,
@carpediem,
Je pense problématique d'aboutir avec l'égalité de longueur OM = OM'.
Pour M fixé, Il y a plus d'un point M' qui vérifie OM' = OM et le milieu de [MM'] est sur la droite (D).
Il me semble plus judicieux d'utiliser un produit scalaire, si Samsco connait.

salut Sylvieg

oui j'ai failli le suggérer mais je me demandais si le ps ne donnait pas justement la première relation x + x' = y + y' (si nous pensons au même ps des mêmes vecteurs )

ha non effectivement ça semble (de tête) marcher !!

Samsco : suis l'indication de Samsco

ha damned !!!

merci "big brother" !!!

@Samsco,
Quels sont les deux vecteurs orthogonaux que l'ont peut utiliser à ton avis ?

un vecteur directeur de (D) et le vecteur IM ( ou IM' ou MM' ).

Utilise un vecteur directeur simple de la droite (D).
Choisis parmi les vecteurs IM, IM' et MM', celui dont les coordonnées sont les plus faciles à trouver.

Je ne vais plus être disponible aujourd'hui

Soit u(1 ; 1) un vecteur directeur de (D) et MM'(x'-x ; y'-y) un vecteur normal à (D).

et alors ? qu'attends-tu ?

On a:

u.MM'=0 ( en vecteurs)

=> 1×(x'-x)+1×(y'-y)=0
=> x'+y'=x+y

Tu as donc 2 relations :
x+x' = y+y'
x'+y' = x+y
Tu peux en déduire ce qui est demandé.

x+x'=y+y' (1)
x'+y'=x+y (2)

(1): x=y+y'-x'

(2) : x'+y'=x+y
=> x'+y'=(y+y'-x')+y
=> x'=2y-x'
=> 2x'=2y
=> x'=y

(1) : x+x'=y+y' or x'=y
=> x+y=y+y'
=> y'=x

En conclusion :

x'=y
y'=x

b) On a: x_D=y_A=3 et y_D=x_A=-2

Donc D(3 ; -2)

Merci !

Bonjour,
Une remarque que je n'ai pas voulu faire trop tôt pour
" Justifier que :
x'=y
y'=x ".
Ce n'est pas la même question que " Trouver l'expression analytique de S_(D) ".
C'est "trouver" qui a été traité dans les messages ci-dessus.

"justifier" est plus facile ; il suffit de vérifier que la droite (D) est médiatrice de [MM'] avec M(x,y) et M'(x', y').
Autrement dit que la droite (D) est médiatrice de [MM'] avec M(x,y) et M'(y, x).

Le vecteur MM' a pour coordonnées y-x et x-y alors que celui de coordonnées 1 et 1 est un vecteur directeur de la droite (D).
On vérifie facilement qu'ils sont orthogonaux.

Reste à écrire les coordonnées x_I et y_I du milieu I de [MM'] et constater qu'elles sont égales.

D'accord , c'est compris !