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Symétrie orthogonale d'un plan par rapport à une droite

Posté par
Pseudonyme
31-10-09 à 11:13

Bonjour à tous, on me demande de trouver une équation cartésienne du plan P', symétrie orthogonale du plan P d'équation :

(P) : x + y + z = 0

par la droite d'équations :

(D) : 2x + y - 2 = 0
        5x + y -z -4 = 0


J'ai commencé par trouver le point O commun à la droite et au plan en résolvant le système assez simple composé de toutes ces équation : O( 0 , 2 , -2 )

Ainsi que paramétriser la droite en posant x = t :

(D) : x = t
        y = -2t + 2
        z = 3t - 2

Je ne sais pas si c'est utile, mais j'ai fait de même pour le plan en trouvant deux de ses vecteurs directeurs :

(P) : x = p + q
        y = -p + 2
        z = -q - 2


Seulement là, je bloque... Je n'ai aucune idée de la marche à suivre ! Je me doute que les produits scalaires voire vectoriels me seront utiles maintenant que j'ai la plupart des vecteurs utiles grâce aux équations cartésiennes et paramétrées, mais impossible de savoir ce qu'il faut faire...

Je remercie d'avance grandement celui ou celle qui saura me débloquer !

Posté par
tringlarido
re : Symétrie orthogonale d'un plan par rapport à une droite 01-11-09 à 00:07

bonjour,

Il faut écrire une équation (ou quelque chose) qui décrit la symétrie orthogonale par rapport à ta droite D. Après on calcule l'image du plan.

Si je te donne un point (a,b,c) que vaut sa symétrie orthogonale par rapport à D ?

Posté par
Pseudonyme
re : Symétrie orthogonale d'un plan par rapport à une droite 01-11-09 à 10:01

Et bien justement, dans l'espace, je ne vois vraiment pas...

Posté par
esta-fette
re : Symétrie orthogonale d'un plan par rapport à une droite 01-11-09 à 10:12

bonjour:
je n'ai pas mis les flèches (il faudrait les rajouter)

on prend 2 points A et B sur la droite. (2 valeurs du parmètre)

pour un point M du plan.

on cherche H tel que H appartient à la droite (AH et AB colinèaires)
et MH perpendiculaire à AB

unefois qu'on a H; on pose MM'=2MH

Posté par
esta-fette
re : Symétrie orthogonale d'un plan par rapport à une droite 01-11-09 à 10:14

pour le plan symètrique, il suffit de trouver x' en fonction de x; y' en fonction de y' et z' en fonction de z et remplacer dans l'équation....

Posté par
Pseudonyme
re : Symétrie orthogonale d'un plan par rapport à une droite 01-11-09 à 10:45

Merci beaucoup, je n'y avais pas pensé et il est vrai que la méthode est très simple ! Merci mille fois

Posté par
Pseudonyme
re : Symétrie orthogonale d'un plan par rapport à une droite 01-11-09 à 10:56

Une dernière petite question ! Pour montrer que deux vecteurs u et v sont colinéaires dans l'espace, on est obligé de le montrer sous la forme : u = kv, non ?

On ne peut pas utiliser le déterminant dans ce cas, exact ou pas ?

Posté par
esta-fette
re : Symétrie orthogonale d'un plan par rapport à une droite 01-11-09 à 11:08

si on le désire, on peut utiliser le déterminant.....

det(u,v,w)=0

en prenant w=(x;y;z)on obtient 3 relations.....

mais le plus simple c'est de dire que : AH=k.AB, garder k et travailler avec k....

Posté par
Pseudonyme
re : Symétrie orthogonale d'un plan par rapport à une droite 01-11-09 à 11:19

Bon, je tente et je poste dès que j'arrive à un résultat probant. Merci de ton aide en tout cas. ^^

PS : dans ce cas, le déterminant ne sert-il pas à montrer une coplanéarité plutôt qu'une colinéarité ?

Posté par
esta-fette
re : Symétrie orthogonale d'un plan par rapport à une droite 01-11-09 à 11:34

voila les calculs:


Citation :
(D) : 2x + y - 2 = 0
        5x + y -z -4 = 0


      point A(0;-2;2)
        point B(1;0;1)
       H(0+k; -2+2k;2-k)

M(x,y,Z)
HM (x-k ;y+2-k;z-2+k)
AB(1;2;-1)

HM.AB= (x-k)+2(y+2-k)-1(z-2-k)=0

x+2y-z + -2k +6=0

donc k= (x+2y-z+6)/2

HM= (x-((x+2y-z+6)/2) ; y+2 -(x+2y-z+6)/2 ; z-2 - (x+2y-z+6)/2 )



OM' = OM - 2 MH
etc.....

est-ce clair ?

Posté par
Pseudonyme
re : Symétrie orthogonale d'un plan par rapport à une droite 01-11-09 à 12:07

Très clair, merci beaucoup.

Posté par
Pseudonyme
re : Symétrie orthogonale d'un plan par rapport à une droite 01-11-09 à 12:25

J'ai encore un petit soucis

Après avoir les coordonnées de x', y' et z', comment faire pour retomber sur l'équation du plan ?

Posté par
esta-fette
re : Symétrie orthogonale d'un plan par rapport à une droite 01-11-09 à 13:33

c'est très simpl:

M(x;y;z) \in (P) \Longleftrightarrow M'(x',y',z') \in (P')

ou même

M'(x';y';z') \in (P) \Longleftrightarrow M(x,y,z) \in (P')



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