Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre GéométrieTopics traitant de géométrie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Symétries orthogonales

Posté par
lolo5959 08-04-06 à 18:46

Bonjour à tous!

J'aurai besoin d'aide pour une question de géométrie:

Soient s1,s2 et s3 3 symétries orthogonales par rapport à des plans de l'espace.
Montrer que (s1 o s2 o s3 )² =Id <=> Les plans P1, P2 et P3 sont parallèles ou sécants selon une droite D ou ont un point commun tout en étant perpendiculaires 2 à 2.

Seulement, je ne vois pas comment m'en sortir: pour => j'ai dit que comme le carré était égal à l'identité, on a un antidéplacement. Donc c'est soit une symétrie orthogonale, soit une antirotation soit un glissement. J'ai montré que ce dernier n'était pas possible, donc c'est l'un des deux premiers.

Ensuite, j'ai essayé d'aboutir à des positions deplans en considérant chaque isométrie, mais je suis bloquée..

Pour <= ,alors là, je ne vois vraiment pas comment faire.

Voilà, si quelqu'un pouvait m'aider à résoudre ce problème, ça serait gentil

Merci!
lolo

Posté par dementor (invité)y aller progressivement 09-04-06 à 18:30

commençons par <= : c'est juste de la vérification, fais des dessins pour t'en convaincre puis pour le justifier pose un repère en dim 3 avec

dans le premier cas : P1 : x=a  P2 : x=b P3 : x=c (les trois plans parallèles)

dans le cas 2 : P1 : ax+by=0  P2 : cx+dy = 0  P3 : ex+fy = 0 (l'axe z est la droite d'intersection)

dans le cas 3 : P1 : x=0  P2 : y=0   P3 : z=0 (trois plans perpendiculaires 2 à 2)

pour les trois situations tu applique sur un point quelconque P (p,q,r) s1os2os3 deux fois et tu constates avec joie que tu retombe sur P

Posté par dementor (invité)autre sens 09-04-06 à 18:37

est-ce que tu imposes P1 P2 et P3 distincts ou non ?

Posté par
lolo5959re : Symétries orthogonales 09-04-06 à 19:11

Bonjour dementor et merci pour ton aide !

Il n'est pas précisé si P1 P2 et P3 sont distincts ou non.Je les avais supposés distincts,mais bon, rien ne le dit...

Posté par dementor (invité)problème potentiel 09-04-06 à 23:06

si tu les prends pas distincts tu peux faire ça :
P1 : x=0  P2 : x=0  P3: y=0 et alors (s1os2os3)² = Id sans vérifier aucun des cas du deuxième membre je crois donc mieux vaut les supposer distincts à mon avis.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Symétries orthogonales 11-04-06 à 00:16

Bonsoir lolo5959;
(*)dementor, les trois plans 2$\fbox{(P_1)=(P_2){:}x=0\\(P_3){:}y=0} sont sécants selon la droite \fbox{(D){:}x=y=0}.
Notations:
\fbox{\scr S{:}(s_1os_2os_3)^2=Id}
\fbox{\scr P{:}(P_1),(P_2),(P_3)\hspace{5}paralleles}
\fbox{\scr Q{:}(P_1),(P_2),(P_3)\hspace{5}secants\hspace{5}selon\hspace{5}une\hspace{5}droite}
\fbox{\scr R{:}(P_1),(P_2),(P_3)\hspace{5}deux\hspace{5}a\hspace{5}deux\hspace{5}perpendiculaires}
Probléme:
On veut montrer l'équivalence 3$\blue\fbox{\scr S\Longleftrightarrow \scr P ou \scr Q ou \scr R}
Résolution:
\fbox{\fbox{\Longleftarrow}}
On montre les trois implications \fbox{\scr P\Longrightarrow\scr S} , \fbox{\scr Q\Longrightarrow\scr S} et \fbox{\scr R\Longrightarrow\scr S} je crois que c'est facile (on en reparlera si c'est nécéssaire).
\fbox{\fbox{\Longrightarrow}}
Cela est logiquement équivalent à montrer l'implication 2$\fbox{\scr S\hspace{5}et\hspace{5}(non\scr P)\hspace{5}et\hspace{5}(non\scr Q)\Longrightarrow\scr R}
Allons y:
on a par hypothése 2$\blue\fbox{s_1os_2os_3=s_3os_2os_1} comme \fbox{(non\scr P)} , \fbox{s_1os_2} est une rotation \fbox{r} d'axe \fbox{(D)=(P_1)\cap(P_2)} et on a donc \fbox{ros_3=s_3or^{-1}} et ainsi on voit que \fbox{\forall M\in(D)\\r(s_3(M))=s_3(M))} c'est à dire que 2$\fbox{s_3(D))=(D)} et deux cas sont alors possibles:
(*)\fbox{(D)\subset(P_3)} ce qui n'est pas possible puisque \fbox{(non\scr Q)}
(*)\fbox{(D)} est perpendiculaire à (P_3) ce qui donne \fbox{(P_1)\perp(P_3)\\(P_2)\perp(P_3)}
et comme on a aussi 2$\blue\fbox{s_2os_3os_1=s_1os_3os_2} on voit qu'un raisonnement analogue conduit à \fbox{(P_1)\perp(P_2)} d'où \fbox{\scr R} CQFD
Sauf erreurs...



Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Symétries orthogonales 12-04-06 à 16:49

4$\fbox{\fbox{NB}} Quand j'ai dit au début de ma démonstration que \fbox{s_1os_2} est une rotation si \fbox{non\scr P} c'était pour dire que l'une des isométries \fbox{s_1os_2} ou \fbox{s_2os_3} est une rotation car sinon elles seraient toutes les deux des translations ce qui n'est pas possible vu que les trois plans (P_1) , (P_2) et (P_3) ne sont pas paralléles.Mais ceci n'affecte en rien le reste de la preuve car si c'était \fbox{s_2os_3} qui est une rotation on posera \fbox{r=s_2os_3} et on remarquera qu'on a aussi \fbox{s_2os_3os_1=s_1os_3os_2} et donc \fbox{ros_1=s_1or^{-1}}.

Posté par
lolo5959re : Symétries orthogonales 13-04-06 à 20:44

Un grand MERCI à vous deux dementor et elhor_abdelali
Désolée de ne pas être venue avant, mais j'ai des problèmes avec internet

Encore merci et bon week-end!

lolo

Posté par
lolo5959re : Symétries orthogonales 13-04-06 à 20:48

--->elhor

Pour le premier message: (on en reparlera si c'est nécéssaire).
J'ai réussi à le montrer, c'est vrai que c'est pas très compliqué,mais j'aurais jamais pensé à partir comme ça...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !