Bonjour à tous!
J'aurai besoin d'aide pour une question de géométrie:
Soient s1,s2 et s3 3 symétries orthogonales par rapport à des plans de l'espace.
Montrer que (s1 o s2 o s3 )² =Id <=> Les plans P1, P2 et P3 sont parallèles ou sécants selon une droite D ou ont un point commun tout en étant perpendiculaires 2 à 2.
Seulement, je ne vois pas comment m'en sortir: pour => j'ai dit que comme le carré était égal à l'identité, on a un antidéplacement. Donc c'est soit une symétrie orthogonale, soit une antirotation soit un glissement. J'ai montré que ce dernier n'était pas possible, donc c'est l'un des deux premiers.
Ensuite, j'ai essayé d'aboutir à des positions deplans en considérant chaque isométrie, mais je suis bloquée..
Pour <= ,alors là, je ne vois vraiment pas comment faire.
Voilà, si quelqu'un pouvait m'aider à résoudre ce problème, ça serait gentil
Merci!
lolo
commençons par <= : c'est juste de la vérification, fais des dessins pour t'en convaincre puis pour le justifier pose un repère en dim 3 avec
dans le premier cas : P1 : x=a P2 : x=b P3 : x=c (les trois plans parallèles)
dans le cas 2 : P1 : ax+by=0 P2 : cx+dy = 0 P3 : ex+fy = 0 (l'axe z est la droite d'intersection)
dans le cas 3 : P1 : x=0 P2 : y=0 P3 : z=0 (trois plans perpendiculaires 2 à 2)
pour les trois situations tu applique sur un point quelconque P (p,q,r) s1os2os3 deux fois et tu constates avec joie que tu retombe sur P
Bonjour dementor et merci pour ton aide !
Il n'est pas précisé si P1 P2 et P3 sont distincts ou non.Je les avais supposés distincts,mais bon, rien ne le dit...
si tu les prends pas distincts tu peux faire ça :
P1 : x=0 P2 : x=0 P3: y=0 et alors (s1os2os3)² = Id sans vérifier aucun des cas du deuxième membre je crois donc mieux vaut les supposer distincts à mon avis.
Bonsoir lolo5959;
(*)dementor, les trois plans sont sécants selon la droite
.
Notations:
Probléme:
On veut montrer l'équivalence
Résolution:
On montre les trois implications ,
et
je crois que c'est facile (on en reparlera si c'est nécéssaire).
Cela est logiquement équivalent à montrer l'implication
Allons y:
on a par hypothése comme
,
est une rotation
d'axe
et on a donc
et ainsi on voit que
c'est à dire que
et deux cas sont alors possibles:
(*) ce qui n'est pas possible puisque
(*) est perpendiculaire à
ce qui donne
et comme on a aussi on voit qu'un raisonnement analogue conduit à
d'où
CQFD
Sauf erreurs...
Quand j'ai dit au début de ma démonstration que
est une rotation si
c'était pour dire que l'une des isométries
ou
est une rotation car sinon elles seraient toutes les deux des translations ce qui n'est pas possible vu que les trois plans
,
et
ne sont pas paralléles.Mais ceci n'affecte en rien le reste de la preuve car si c'était
qui est une rotation on posera
et on remarquera qu'on a aussi
et donc
.
Un grand MERCI à vous deux dementor et elhor_abdelali
Désolée de ne pas être venue avant, mais j'ai des problèmes avec internet
Encore merci et bon week-end!
lolo
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