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Symétries orthogonales

Posté par
lolo5959 08-04-06 à 18:46

Bonjour à tous!

J'aurai besoin d'aide pour une question de géométrie:

Soient s1,s2 et s3 3 symétries orthogonales par rapport à des plans de l'espace.
Montrer que (s1 o s2 o s3 )² =Id <=> Les plans P1, P2 et P3 sont parallèles ou sécants selon une droite D ou ont un point commun tout en étant perpendiculaires 2 à 2.

Seulement, je ne vois pas comment m'en sortir: pour => j'ai dit que comme le carré était égal à l'identité, on a un antidéplacement. Donc c'est soit une symétrie orthogonale, soit une antirotation soit un glissement. J'ai montré que ce dernier n'était pas possible, donc c'est l'un des deux premiers.

Ensuite, j'ai essayé d'aboutir à des positions deplans en considérant chaque isométrie, mais je suis bloquée..

Pour <= ,alors là, je ne vois vraiment pas comment faire.

Voilà, si quelqu'un pouvait m'aider à résoudre ce problème, ça serait gentil

Merci!
lolo

Posté par dementor (invité)y aller progressivement 09-04-06 à 18:30

commençons par <= : c'est juste de la vérification, fais des dessins pour t'en convaincre puis pour le justifier pose un repère en dim 3 avec

dans le premier cas : P1 : x=a  P2 : x=b P3 : x=c (les trois plans parallèles)

dans le cas 2 : P1 : ax+by=0  P2 : cx+dy = 0  P3 : ex+fy = 0 (l'axe z est la droite d'intersection)

dans le cas 3 : P1 : x=0  P2 : y=0   P3 : z=0 (trois plans perpendiculaires 2 à 2)

pour les trois situations tu applique sur un point quelconque P (p,q,r) s1os2os3 deux fois et tu constates avec joie que tu retombe sur P

Posté par dementor (invité)autre sens 09-04-06 à 18:37

est-ce que tu imposes P1 P2 et P3 distincts ou non ?

Posté par
lolo5959re : Symétries orthogonales 09-04-06 à 19:11

Bonjour dementor et merci pour ton aide !

Il n'est pas précisé si P1 P2 et P3 sont distincts ou non.Je les avais supposés distincts,mais bon, rien ne le dit...

Posté par dementor (invité)problème potentiel 09-04-06 à 23:06

si tu les prends pas distincts tu peux faire ça :
P1 : x=0  P2 : x=0  P3: y=0 et alors (s1os2os3)² = Id sans vérifier aucun des cas du deuxième membre je crois donc mieux vaut les supposer distincts à mon avis.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Symétries orthogonales 11-04-06 à 00:16

Bonsoir lolo5959;
(*)dementor, les trois plans 2$\fbox{(P_1)=(P_2){:}x=0\\(P_3){:}y=0} sont sécants selon la droite \fbox{(D){:}x=y=0}.
Notations:
\fbox{\scr S{:}(s_1os_2os_3)^2=Id}
\fbox{\scr P{:}(P_1),(P_2),(P_3)\hspace{5}paralleles}
\fbox{\scr Q{:}(P_1),(P_2),(P_3)\hspace{5}secants\hspace{5}selon\hspace{5}une\hspace{5}droite}
\fbox{\scr R{:}(P_1),(P_2),(P_3)\hspace{5}deux\hspace{5}a\hspace{5}deux\hspace{5}perpendiculaires}
Probléme:
On veut montrer l'équivalence 3$\blue\fbox{\scr S\Longleftrightarrow \scr P ou \scr Q ou \scr R}
Résolution:
\fbox{\fbox{\Longleftarrow}}
On montre les trois implications \fbox{\scr P\Longrightarrow\scr S} , \fbox{\scr Q\Longrightarrow\scr S} et \fbox{\scr R\Longrightarrow\scr S} je crois que c'est facile (on en reparlera si c'est nécéssaire).
\fbox{\fbox{\Longrightarrow}}
Cela est logiquement équivalent à montrer l'implication 2$\fbox{\scr S\hspace{5}et\hspace{5}(non\scr P)\hspace{5}et\hspace{5}(non\scr Q)\Longrightarrow\scr R}
Allons y:
on a par hypothése 2$\blue\fbox{s_1os_2os_3=s_3os_2os_1} comme \fbox{(non\scr P)} , \fbox{s_1os_2} est une rotation \fbox{r} d'axe \fbox{(D)=(P_1)\cap(P_2)} et on a donc \fbox{ros_3=s_3or^{-1}} et ainsi on voit que \fbox{\forall M\in(D)\\r(s_3(M))=s_3(M))} c'est à dire que 2$\fbox{s_3(D))=(D)} et deux cas sont alors possibles:
(*)\fbox{(D)\subset(P_3)} ce qui n'est pas possible puisque \fbox{(non\scr Q)}
(*)\fbox{(D)} est perpendiculaire à (P_3) ce qui donne \fbox{(P_1)\perp(P_3)\\(P_2)\perp(P_3)}
et comme on a aussi 2$\blue\fbox{s_2os_3os_1=s_1os_3os_2} on voit qu'un raisonnement analogue conduit à \fbox{(P_1)\perp(P_2)} d'où \fbox{\scr R} CQFD
Sauf erreurs...



Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Symétries orthogonales 12-04-06 à 16:49

4$\fbox{\fbox{NB}} Quand j'ai dit au début de ma démonstration que \fbox{s_1os_2} est une rotation si \fbox{non\scr P} c'était pour dire que l'une des isométries \fbox{s_1os_2} ou \fbox{s_2os_3} est une rotation car sinon elles seraient toutes les deux des translations ce qui n'est pas possible vu que les trois plans (P_1) , (P_2) et (P_3) ne sont pas paralléles.Mais ceci n'affecte en rien le reste de la preuve car si c'était \fbox{s_2os_3} qui est une rotation on posera \fbox{r=s_2os_3} et on remarquera qu'on a aussi \fbox{s_2os_3os_1=s_1os_3os_2} et donc \fbox{ros_1=s_1or^{-1}}.

Posté par
lolo5959re : Symétries orthogonales 13-04-06 à 20:44

Un grand MERCI à vous deux dementor et elhor_abdelali
Désolée de ne pas être venue avant, mais j'ai des problèmes avec internet

Encore merci et bon week-end!

lolo

Posté par
lolo5959re : Symétries orthogonales 13-04-06 à 20:48

--->elhor

Pour le premier message: (on en reparlera si c'est nécéssaire).
J'ai réussi à le montrer, c'est vrai que c'est pas très compliqué,mais j'aurais jamais pensé à partir comme ça...


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