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système

Posté par
Samsco 26-04-20 à 22:43

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

ABC est un triangle quelconque , on pose AB=a , AC=B et BC=C . L'unité de longueur est le cm.

1) Les nombres entiers naturels a , b et c vérifient le système (S) \left\lbrace\begin{array} l a+b+c=10 \\ a+b-c=4 \\ a²+b²+c²=34\end{array}\right

a) Déterminer les entiers naturels a ,b et c tels que a<b.
b) En deduire la nature exacte du triangle ABC.

2) Déterminer et construire l'ensemble (T) des points M du plan tels que MA²-MB²=a²

3) Soit \alpha~,~\beta~et~\gamma les mesures des angles de ce triangle. Démonter que \cos(\dfrac{\alpha+\beta}{2})=sin(\dfrac{\gamma}{2})

Réponses :

1) Avec le théorème de guass ,je ne m'en sort pas pour ce système donc je suis passé par là méthode de substitution.

*Résolution du système (S)

\left\lbrace\begin{array} l a+b+c=10~(E_1) \\ a+b-c=4~(E_2) \\ a²+b²+c²=34~(E_3)\end{array}\right

(E_1):~a+b+c=10 \iff a=10-b-c \\ \\ \\ (E_2):~a+b-c=4 \\ \\ *Remplaçons~a~par~sa~valeur~issue~de~l'équation~(E_1)~dans~l'équation~(E_2) \\ \\ (E_2):~10-b-c+b-c=10  \iff c=3 \\ \\ Donc~(E_1):~a+b=7 \iff a=7-b \\ \\ \\ (E_3):~a²+b²+c²=34 \\ *Remplaçons~la~valeur~de~a~issue~de~l'equation~(E_1)~dans~l'equation~(E_3) \\ \\ (E_3):~(7-b)²+b²=25\iff 2b²-14b+24=0 \\ \iff b=4~ou~b=3 \\ \\ Pour~b=4~ , D'après~l'equation~(E_1),~a=3 \\ Et~pour~b=3~,~a=4 \\ \\ On~a ~a<b~donc~a=3

*** message déplacé ***titre modifié**

Posté par
Samscore : Suites 26-04-20 à 22:44

Dsl je me suis trompé , je voulais créer un nouveau topic

*** message déplacé *** ben voilà, c'est fait ***

Posté par
Samscore : Suites 26-04-20 à 23:51

Réponses :

1) Avec le théorème de guass ,je ne m'en sort pas pour ce système donc je suis passé par là méthode de substitution.

*Résolution du système (S)

\left\lbrace\begin{array} l a+b+c=10~(E_1) \\ a+b-c=4~(E_2) \\ a²+b²+c²=34~(E_3)\end{array}\right

(E_1):~a+b+c=10 \iff a=10-b-c \\ \\ (E_2):~a+b-c=4

*Remplaçons la valeur de a issu de l'equation (E1) dans l'équation (E2)

(E_2):~10-b-c+b-c=10 \iffc=3 \\ \\ Donc~(E_1):~a+b=7\iff a=7-b \\ \\ (E_3):~a²+b²+c²=34

*Remplaçons la valeur de a issue de l'équation (E1) dans l'équation (E3)

(E_3):~(7-b)²+b²=25 \iff 2b²-14b+24=0 \\ \iff b=4~ou~b=3 \\ \\ Pour~b=4~ , D'après~l'equation~(E_1),~a=3 \\ Et~pour~b=3~,~a=4 \\ \\ On~a ~a<b~donc~a=3

malou edit > Ltx corrigé

Posté par
Samscore : Suites 26-04-20 à 23:55

Donc a=3 , b=4 et c=3

ABC est un triangle isocèle en B

Posté par
Samscore : Suites 27-04-20 à 07:36

2) je ne vois pas comment faire ça

Posté par
fenamat84re : système 27-04-20 à 09:25

Bonjour,

2) Tu pourras remarquer que MA²-MB² est une identité remarquable...
Une fois la factorisation faite, introduire le milieu I du segment [AB].

Posté par
mathafou Moderateurre : système 27-04-20 à 09:33

Bonjour,

2) interpréter ça comme un produit scalaire

MA^2 - MB^2 = \vec{MA}^2 - \vec{MB}^2
etc
(faire intervenir le milieu I de AB et Chasles et / ou factoriser)

Posté par
mathafou Moderateurre : système 27-04-20 à 09:35

bonjour fenamat84 je te laisse poursuivre (messages croisés)

Posté par
fenamat84re : système 27-04-20 à 09:42

Bonjour Mathafou

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 11:59

mathafou @ 27-04-2020 à 09:33

Bonjour,

2)  interpréter ça comme un produit scalaire

MA^2 - MB^2 = \vec{MA}^2 - \vec{MB}^2
etc
(faire intervenir le milieu I de AB et Chasles et / ou factoriser)


Si je factorise il y a un des termes factorisé à qui je ne pourrai définir un barycentre car 1-1=0

Posté par
fenamat84re : système 27-04-20 à 12:09

As-tu déjà commencé par factoriser cela ?
Montre tes calculs.

Posté par
mathafou Moderateurre : système 27-04-20 à 12:10

comme tu reprends ce que j'ai dit, je réponds quand même :

y a pas besoin de barycentres là dedans à moins de vouloir réciter une méthode apprise par coeur (et encore, la moitié des cas de cette méthode) sans réfléchir.

de toute façon on n'est pas obligé de factoriser non plus :
on peut faire intervenir Chasles, développer et simplifier
"ou" disais-je

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 12:18

Je vais essayer d'introduire le milieu I du segment AB alors.

On a :

\vec{MA}²-\vec{MB}²=3² \\ \\ (\vec{MA}-\vec{MB})(\vec{MA}+\vec{MB})=9 \\ \\ ((\vec{MI}+\vec{IA})-(\vec{MI}+\vec{IB}))((\vec{MI}+\vec{IA})+(\vec{MI}+\vec{IB}))=9

Est ce que je suis sur la bonne voie ?

Posté par
fenamat84re : système 27-04-20 à 12:26

Il n'y avait pas besoin d'introduire le point I dans le premier facteur...

Tu as MA - MB (en vecteurs)
Que peux-tu dire du vecteur -MB ?
MA - MB peut donc se simplifier un peu...

Quant au 2e facteur : Il faut regrouper cela... tu trouves donc 2MI + IA + IB (en vecteurs)
Or que peux-tu dire de IA+IB ?

Au final, ton expression se simplifie beaucoup... et cela va te permettre d'en tirer l'ensemble recherché.

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 12:36


On a :

\vec{MA}²-\vec{MB}²=3² \\ \\ (\vec{MA}-\vec{MB})(\vec{MA}+\vec{MB})=9 \\ \\ (\vec{MA}-\vec{MB})((\vec{MI}+\vec{IA}))+(\vec{MI}+\vec{IB}))=9 \\ \\ (\vec{MA}-\vec{MB})(2\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{IB})=9 \\ \\ 2\vec{MI}(\vec{MA}-\vec{MB})=9 \\ \\ 2.\vec{MI}.\vec{MA}-2\vec{MI}.\vec{MB}=9

Posté par
littleguyre : système 27-04-20 à 12:42

Bonjour,

Trop compliqué :

\vec{MA}-\vec{MB}  ne dépend pas de M.

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 12:46

Comment ça ?

Posté par
littleguyre : système 27-04-20 à 12:49

-\vec{MB}=\vec{BM}, puis  Chasles.

En revanche OK pour {\vec{MA}+\vec{MB}

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 12:53

Donc \vec{MA}-\vec{MB}=\vec{MA}+\vec{BM}

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 12:56

J'introduis aussi le point I

Posté par
littleguyre : système 27-04-20 à 12:58

Pourquoi I ?

\vec{MA}+\vec{BM} = \vec{BM}+\vec{MA}, non ?

Posté par
littleguyre : système 27-04-20 à 13:00

Je dois partir...

Posté par
fenamat84re : système 27-04-20 à 13:13

Le vecteur -MB est l'opposé du vecteur BM !!

Donc MA - MB = MA + BM = BM + MA.
Et en utilisant la relation de Chasles, BM + MA = ... ??

Pour le facteur MA+MB :
MA+MB = MI + IA + MI + IB (en introduisant le point I milieu de [AB])
= 2 MI + IA + IB

Et question : que peux-tu dire de IA+IB ?

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 13:20

Ok


On a :

\vec{MA}²-\vec{MB}²=3² \\ \\ (\vec{MA}+\vec{BM})(\vec{MA}+\vec{MB})=9 \\ \\ (\vec{BM}+\vec{MA})((\vec{MI}+\vec{IA}))+(\vec{MI}+\vec{IB}))=9 \\ \\ \vec{BA}(2\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{IB})=9 \\ \\ 2\vec{MI}.\vec{BA}=9 \\ \\ \vec{MI}.\vec{BA}=\dfrac{9}{2} \\ \\ \\ \\

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 13:24

IA.IB=0
BM+MA=BA

Posté par
carpediemre : système 27-04-20 à 13:26

salut

Citation :
1) Avec le théorème de guass ,je ne m'en sort pas pour ce système donc je suis passé par là méthode de substitution.
normal car le système n'est pas linéaire ...

a + b + c = 10
a + b - c = 4

par soustraction on obtient immédiatement 2c = 6 ...

il reste alors :

a + b = 7
a2 + b2 = 25

vu que a et b sont entiers (positifs) et qu'on parle triangle on reconnait le classique triplet 3^2 + 4^2 = 5^2  

pour le reste d'autres intervenants sont là ...

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 13:31

Oki merci

Posté par
fenamat84re : système 27-04-20 à 13:37

Ok, tu arrives donc à :

MI.BA = 9/2
ou encore
IM.AB = 9/2 (car MI = -IM et BA = -AB)

A présent, c'est là que la notion de projeté orthogonal entre en jeu.
Si on introduit le point H qui est le projeté orthogonal de M sur [AB], que peux-tu dire du produit scalaire IM.AB ?

Posté par
mathafou Moderateurre : système 27-04-20 à 13:40

Samsco @ 27-04-2020 à 13:24

IA.IB=0 faux IA+IB = 0
BM+MA=BA


on a obtenu   \vec{MI}.\vec{BA}= \dfrac{9}{2}   OK
pour poursuivre on peut faire intervenir le projeté orthogonal H de M sur (AB)

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 13:50

On a \vec{MI}.{BA}=9/2
Soit H le projeté orthogonal de M sur (AB)
HI.BA=9/2

Posté par
fenamat84re : système 27-04-20 à 14:04

Ok, donc tu peux situer le point H sur le plan.
Et en déduire l'ensemble (T) des points M du plan...

Posté par
fenamat84re : système 27-04-20 à 14:06

Il faut quand même aussi que tu justifies un peu pourquoi on a : MI.BA = 12 HI.BA = 12...

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 14:20

Parce que HI est MI ont le même sens

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 14:21

fenamat84 @ 27-04-2020 à 14:06

Il faut quand même aussi que tu justifies un peu pourquoi on a : MI.BA = 12 HI.BA = 12...


HI=(9/2)/BA=9/(2*3)=9/6

Posté par
fenamat84re : système 27-04-20 à 14:31

Ok pour HI. Tu peux simplifier la fraction par 3 quand même...
A présent tu peux en déduire l'ensemble (T) tels que : HI.BA = 9/2.

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 14:35

HI=3/2

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 14:36

Mais je ne sais pas ce que ça signifie pour l'ensemble (T) des points M

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 21:34

HI=3/2 signifie quoi pour l'ensemble (T) ?

Posté par
mathafou Moderateurre : système 27-04-20 à 21:38

avant de répondre à cette question, c'est déja : elle signifie quoi pour le point H ?
et dépend il de M ?

Posté par
fenamat84re : système 27-04-20 à 21:46

Essaie de te faire un schéma.
Tu as le produit scalaire : HI.BA = 9/2
HI = 3/2
Le point I est le milieu de [AB], donc tu sais comment placer le point H !
Les vecteurs HI et BA sont colinéaires et de même sens...  

Posté par
Samscore : système 27-04-20 à 22:10

mathafou @ 27-04-2020 à 21:38

avant de répondre à cette question, c'est déja : elle signifie quoi pour le point H ?
et dépend il de M ?


On a AB=3 et AI=IB=3/2 , HI=3/2
Vu que HI est BA ont le même sens le point H est confondu au point B

Posté par
Samscore : système 28-04-20 à 17:14

Alors mon message précédent est juste?

Posté par
mathafou Moderateurre : système 28-04-20 à 17:48

oui, mais c'est une "coïncidence" (due à la valeur particulière du second membre = a²)

c'est pas ça qui est important
l'important est que ce point H est fixe et ne dépend pas de M

et donc que peut peut on dire à propos des points M qui se projettent en ce point H là
de l'ensemble de tous les points M qui se projettent en le même point H

Posté par
Samscore : système 28-04-20 à 18:19

On peut dire que l'ensemble des points M est la droite passant par H et perpendiculaire à AB

Posté par
mathafou Moderateurre : système 28-04-20 à 18:40

oui !!!

et ici on peut même préciser vu que H porte un autre nom

Posté par
Samscore : système 28-04-20 à 19:22

Les points M sont la droite passant par B et perpendiculaire à (AB)

Posté par
mathafou Moderateurre : système 28-04-20 à 19:38

oui.

Posté par
Samscore : système 28-04-20 à 19:51

Ok merci !


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