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Système

Posté par
djaraf 25-06-23 à 14:04

modération > **Bonjour***

De l'aide sur le système x+y^2=y^3 et y+x^2=x^3  J'ai trouvé les couples (0, 0) ((\frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}),(\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2}) correspondant à x=y

Posté par
Glapion Moderateurre : Système 25-06-23 à 14:29

Bonjour, oui ce sont les bonnes solutions.

Posté par
carpediemre : Système 25-06-23 à 14:38

salut

honnêtement il n'y a guère de difficultés à résoudre ce système avec la condition x = y

ce serait plus intéressant sans cette condition ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Système 25-06-23 à 14:56

Bonjour,
Donc, on aimerait bien un recopiage de l'énoncé tel qu'il est posé

Posté par
djarafre : Système 25-06-23 à 21:29

Bonjour ma question est
Existe t-il des solutions si x#y

Posté par
carpediemre : Système 26-06-23 à 13:00

par soustraction :

x - y + y^2 - x^2 = x^3 - y^3 \Longrightarrow 1 - x - y = x^2 + xy + y^2 \iff x^2 + xy + y^2 + x + y - 1 = 0   en supposant x \ne y

et ceci est l'équation d'une conique dans le plan

x^2 + xy + y^2 + x + y - 1 = 0 \iff \left[ x + \dfrac 1 2 (y + 1) \right]^2 + y^2 - \dfrac 1 2 (y + 1)^2 + y - 1 = 0 \iff \left[ x + \dfrac 1 2 (y + 1) \right]^2 + \dfrac 1 2 \left[ 2y^2 - (y + 1)^2 + 2y - 2 \right] = 0

il te suffit de mettre le second crochet sous forme canonique pour conclure ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Système 26-06-23 à 14:01

Bonjour carpediem,
Ne serait-ce pas \; y^{3} - x^{3} \; au départ dans le membre de droite ?

Posté par
carpediemre : Système 26-06-23 à 14:24

c'était pour voir si tu suivais !!!

damned !!

mais ça donne alors l'occasion à djaraf de reprendre les calculs et s'entrainer !!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Système 26-06-23 à 14:34

Tout à fait

Posté par
djarafre : Système 30-06-23 à 00:31

Bonjour
Merci de vos  réponses
J'espère avoir suffisamment d'éléments pour traiter le cas où x#y

Posté par
Glapion Moderateurre : Système 30-06-23 à 12:41

Si x#y les solutions sont les mêmes, il n'y en a pas d'autres.

Posté par
carpediemre : Système 30-06-23 à 12:43

peut-être ... mais il faut le montrer !!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Système 30-06-23 à 13:32

Citation :
Si x#y les solutions sont les mêmes,
Heu...
S'il y avait des solutions avec \; x y , ce ne pourrait pas être les mêmes qu'avec \; x = y \;

Posté par
carpediemre : Système 30-06-23 à 15:45

Sylvieg : j'ai failli dire la même chose que toi ...

mais je suppose que ce que Glapion a voulu dire est qu'il n'y a pas plus de solution en considérant x y ...

Posté par
Glapion Moderateurre : Système 30-06-23 à 23:10

j'ai voulu dire que les solutions du système x+y^2=y^3 et y+x^2=x^3 sont celles qu'il a indiqué.
Mais il faut le démontrer c'est vrai.


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