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Niveau terminale
Système avec congruence
Posté par abcd28
Bonjour,
Voici ma question :
Montrer que x(x +13) ≡ 3 [33] équivaut aux quatre systèmes suivants :
x ≡ 2 [3]
x ≡ 8 [11] ou
x ≡ 0 [3]
x ≡ 1 [11] ou
x ≡ 2 [3]
x ≡ 1 [11] ou
x ≡ 0 [3]
x ≡ 8 [11]
Merci d'avance
J'ai déjà une petite idée (3 et 11 sont premiers entre eux et 3*11 = 33 donc je pense qu'il y a quelque chose avec Gauss mais sinon je ne vois pas du tout)
carpediem @ 20-05-2018 à 11:16
salut
effectivement ta petite idée est bonne ...
une alternative ...
![x(x + 13) \equiv 3 [33] \iff x^2 - 20x - 3 \equiv 0 [33] \iff (x - 10)^2 - 103 \equiv 0 [33] \iff (x - 10)^2 -4 \equiv 0 [33] \iff (x - 8)(x + 1) \equiv 0 [33]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x(x + 13) \equiv 3 [33] \iff x^2 - 20x - 3 \equiv 0 [33] \iff (x - 10)^2 - 103 \equiv 0 [33] \iff (x - 10)^2 -4 \equiv 0 [33] \iff (x - 8)(x + 1) \equiv 0 [33])
et![3p \times 11q \equiv 0 [33]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3p \times 11q \equiv 0 [33])
salut
effectivement ta petite idée est bonne ...
une alternative ...
et
Merci, j'ai compris jusqu'à la dernière ligne. Comment trouvez-vous cela ?
ben 33 = 3 * 11 ... donc 3p * 11q = 0 [33] quels que soient p et q
évidemment on considère 0, 3, 6, 9, ..., 30 pour p et 0, 11, 22 pour q
mais en fait tu peux oublier ....
(x - 8)(x + 1) = 0 [33] équivaut donc à ...
Bonjour,
pas "égal"
on travaille sur des congruences modulo 33 !
et du coup PQ ≡ 0 [33] donne non seulement P ≡ 0 ou Q ≡ 0 mais aussi ...
et donc comme le dit l'énoncé quatre "familles" de solutions.
carpediem @ 21-05-2018 à 09:51
![(x - 8)(x + 1) \equiv 0 [33] \iff (x - 8 \equiv 0 [33]) {\red ou } (x -8 \equiv 0 [3] {\blue et } x + 1 \equiv 0 [11]) {\red ou } (x - 8 \equiv 0 [11] {\blue et } x + 1 \equiv 0 [3]) {\red ou } (x + 1 \equiv 0 [33])](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(x - 8)(x + 1) \equiv 0 [33] \iff (x - 8 \equiv 0 [33]) {\red ou } (x -8 \equiv 0 [3] {\blue et } x + 1 \equiv 0 [11]) {\red ou } (x - 8 \equiv 0 [11] {\blue et } x + 1 \equiv 0 [3]) {\red ou } (x + 1 \equiv 0 [33]))
donc j'aurais x ≡ 2 [3]
et x ≡ -1 [11] mais en quoi cela répond à la question puisque pour le 1er système on veut x≡8 [11] ?
Merci d'avance
1/ je ne comprends pas d'où viennent tes systèmes ... qui sont peut-être vrais ...
2/ j'ai évidemment fait une erreur !!!
carpediem @ 20-05-2018 à 11:16
![x(x + 13) \equiv 3 [33] \iff x^2 - 20x - 3 \equiv 0 [33] \iff (x - 10)^2 - 103 \equiv 0 [33] \iff (x - 10)^2 -4 \equiv 0 [33] \iff (x - 8)(x - 12) \equiv 0 [33]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x(x + 13) \equiv 3 [33] \iff x^2 - 20x - 3 \equiv 0 [33] \iff (x - 10)^2 - 103 \equiv 0 [33] \iff (x - 10)^2 -4 \equiv 0 [33] \iff (x - 8)(x - 12) \equiv 0 [33])
carpediem @ 21-05-2018 à 09:51
![(x - 8)(x - 12) \equiv 0 [33] \iff (x - 8 \equiv 0 [33]) {\red ou } (x -8 \equiv 0 [3] {\blue et } x - 12 \equiv 0 [11]) {\red ou } (x - 8 \equiv 0 [11] {\blue et } x - 12 \equiv 0 [3]) {\red ou } (x - 12 \equiv 0 [33])](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(x - 8)(x - 12) \equiv 0 [33] \iff (x - 8 \equiv 0 [33]) {\red ou } (x -8 \equiv 0 [3] {\blue et } x - 12 \equiv 0 [11]) {\red ou } (x - 8 \equiv 0 [11] {\blue et } x - 12 \equiv 0 [3]) {\red ou } (x - 12 \equiv 0 [33]))
x - 8 = 0 [3] et x - 12 = 0 [11] <=> x = 2 [3] et x = 1 [11]
x - 8 = 0 [11] et x - 12 = 0 [3] <=> x = 0 [3] et x = 8 [11]
j'en ai trouvé deux ...
à toi de trouver les deux autres avec ce qui reste ...
J'ai essayé mais ça ne marche pas,
pour
x ≡ 0 [3]
x ≡ 1 [11] ou
x -12≡ 0 [11] <=> x ≡ 12 [11] or 12=11+1 donc x ≡ 1 [11] là ça va
x-8 ≡ 0 [3] <=< x ≡ 8 [3] or 8 = 3*2 +2 donc x≡2 [3]
Je ne vois pas comment on peut trouver x ≡ 0 [3] si x est déjà congru à 2.
as-tu vu les ou et et
et je ne comprends pas ce que tu fais ...
il te reste à voir les cas :
x - 8 = 0 [33]
x - 12 = 0 [33]
or x - 8 = 0 [33] <=> ....
J'ai essayé autre chose au brouillon, pourriez-vous me dire si cela peut marcher ? svp
je pars du système
x≡2 [3]
x≡8 [11]
donc cela équivaut à :
x ≡ 8 [3]
x≡8 [11]
on a alors, 3|x-8 et 11|x-8 et donc 33|x-8 (car 11 et 3 sont premiers entre eux)
si x ≡ 8 [33]
on a x(x+13) ≡ 8 (x+13) [33]
mais étant donné que x≡8 [33]
alors x+13 ≡ 8+13 [33] soit x+13 ≡ 21 [33]
ensuite, je remplace dans ce qui est en bleu
donc x(x+13) ≡ 8*21 [33] par transitivité
et donc finalement, x(x+13) ≡ 168≡ 3 [33]
Je vais essayer avec votre méthode également
tout à fait ça c'est bon ... mais il faut voir que
abcd28 @ 20-05-2018 à 10:47
Montrer que x(x +13) ≡ 3 [33] équivaut aux quatre systèmes suivants : ...
Montrer que x(x +13) ≡ 3 [33] équivaut aux quatre systèmes suivants : ...
donc toi tu as fait le sens <=
moi je t'ai fait le sens => (plus difficile)
mais maintenant tu peux trouver avec ce que tu as fait en réfléchissant
x - 8 = 0 [33] <=> ....
Merci
x - 8 = 0 [33] <=> x ≡ 8 [33]
donc 33|x-8
3|33 et 11|33 car 3 et 11 premiers entre eux
donc x-8≡0 [3] et donc x≡2 [3]
et x-8≡0 [11] et on trouve x≡ 8[11]
Mais comme on nous demande équivalent, on peut le faire dans n'importe quel sens ?
certes mais alors il faut le rédiger correctement ... donc avec des équivalences ...
x - 8 = 0 [33] <=> x = 8 + 33k <=>
x = 2 + 3(2 + 11k) <=> x = 2 [3]
et
x = 8 + 11(3k) <=> x = 8 [[11]
D'accord, j'ai toujours tendance à faire des phrases ahah.
Merci de votre aide en tout cas, je pense que j'arriverai à faire le reste.