Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Systeme d équadif linéaire
Bonjour a tous,
on me demande en fait de résoudre le systeme d'équadif de ce type
y'(t)=A * y(t)+B(t)
sachant que A est une matrice carrée constante d'ordre p
y est en fait un ensemble de fonctions y=(y1, y2,..., yp)
t appartient à un intervalle [a,b] inclu dans R, et les fonctions "y" sont uniformément continues sur cet intervalle.
B(t) est une matrice de p lignes et 1 collone dont les termes dépendent de t.
Il faut que je trouve une suite de fonction qui converge vers la solution du systeme (cette solution du systeme est sous forme d'exponentielle de matrice, ça je le sais).
Mais tout d'abords je dois montrer que la solution au systeme est unique, par le théorème du point fixe (il faut montrer que les y sont continues uniformément, et que la fonction est lipschitzienne je crois).
Enfin je galère dès le départ c'est franchement pas facile...merci d'avance...
Je ne pense pas que y soit un ensemble de fonctions, mais plutot une fonction de R^p dans R^p, non?
Ensuite, tu parles de convergence, mais je pense qu'en 3e année de licence, tu dois savoir qu'on ne parle pas juste de convergence de fonction (je pense que tu es en 3e année de licence, vu la tête du problème).
Ensuite tu dis que tu dois montrer que les fonctions coordonnées de y sont uniformément continues, mais c'est dans les hypothèses non?
Ensuite quelle fonction doit être lipschitzienne? Si tu le sais, je pense que la réponse sera triviale. (notamment le rapport de lipschitz est presque donné...)
Bonne chance.
A+
en fait je me suis ptet mal exprimé...
avec les matrices, le systeme doit avoir cette tete.
y1'(t)=a11 y1(t)+a12*y2(t)+...+a1p * yp(t)+ b1(t)
y2'(t)= a21 y1(t)+a22*y2(t)+...+a1p * yp(t) + b2(t)
...
yp'(t)= ap1 y1(t)+ap2*y2(t)+...+app * yp(t) + bp(t)
donc avec (y1, y2,.., yp)= y
les aij sont les éléments de la matrice constante A (i ligne, j collone)
les bj sont les élément de la matrice collone B qui dépendent de t.
Pour prouver que les y sont uniformément continue sur [a,b], c'est trivial car on suppose par Hyp. que les fonctions b(t) le sont elles même.
Ensuite, le prof nous a donner l'indication de poser y'=F(y,t)
et de résoudre d'abords l'équadif homogène (c'est à dire B(t))
en posant F(y,t)= A.y(t) je parviens a prouver que F est lipschitzienne.
Mais je m'embrouille je ne sais pas si je vais dans la bonne direction.
PS : je ne suis pas en 3e année de license mais en math spé 
Salut,
je ne me rappelle plus tellement de ces affaires là, mais il me semble que ta fonction doit être lipschitzienne, par rapport à y
Ici tu aurais donc
F(y,t)=Ay(t), la variable étant y, etre lipschitzienne par rapport à y signifiant que
|F(y,t)-F(z,t)|<=k|y(t)-z(t)|
Notamment une constante k devrait te venir à l'esprit, je pense |A| que tu définies un peu comme tu veux, par exemple comme étant la norme N2 de ta matrice, c'est bien une norme d'algèbre et notamment, on a que |A(y-z)|<=|A||y-z|
Si je ne suis pas complétement à coté de la plaque, ca doit être ca. 
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac