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Système d'équation congruence

Posté par
Jesuisunhomme 31-01-15 à 19:07

Bonsoir à tous !
Je cherche à résoudre le système suivant dans (Z/16Z)^2
\\     \bar{6x} - \bar{3y} = \bar{3} \\     \bar{3x} + \bar{2y} = \bar{14} \\   
J'ai une méthode mais elle me parait un peu "brutale"
J'isole le y dans le système pour avoir alors \bar{7y} = \bar{25} ce qui équivaut à 7y\equiv25[16] et \exists k \in Z tel que y = \frac{25}{7}-\frac{16k}{7}, puis je fais pareil pour x.
Y a t-il une autre méthode qui fasse moins perdre du temps, qui utilise un théorème par exemple ou un truc du genre ?
Merci d'avance

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Système d'équation congruence 31-01-15 à 19:24

Bonjour,
Je trouve bizarre d'écrire des fractions.
Par ailleurs, 7y 25 [16] 7y 9 [16] 7y -7 [16] .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Système d'équation congruence 31-01-15 à 19:25

Sinon, je ne connais pas d'autres méthodes.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Système d'équation congruence 31-01-15 à 19:31

A partir de 7y -7 [16] , on peut trouver que 16 divise 7(y+1) . Comme 16 est premier avec 7 , 16 divise y+1.
Ne pas recommencer pour x mais remplacer y par -1 dans une des équations.

Posté par
carpediemre : Système d'équation congruence 31-01-15 à 20:51

salut

6x - 3y = 3
3x + 2y = 14

-3x + 5y = 11


5 est inversible : 5 * 13 = 65 = 1 (+ 4 * 16)

-69x + y = 143

y = 143 + 69x


je te laisse réduire (les congruences) et remplacer dans une des équations pour avoir x ....



une autre méthode sachant que 5 est inversible (ce qui permet de travailler par équivalence :: je multiplie les deux équations par 5

-2x + y = -1
-x + 10y = -10

la première donne y = 2x - 1 qu'on remplace dans la deuxième ....

Posté par
carpediemre : Système d'équation congruence 31-01-15 à 20:52

-39x + y = 143 ... bien sur

Posté par
Jesuisunhommere : Système d'équation congruence 31-01-15 à 22:53

carpediem je comprends pourquoi le fait de dire que 5 est inversible nous permet de multiplier les équation par 5
ps: je sais juste ce théorème pour l'inverse: \bar{x} est inversible dans (Z/nZ) \leftrightarrow pgcd(x,n) = 1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Système d'équation congruence 01-02-15 à 08:35

Bonjour,
Ce théorème est quasiment une évidence avec Bézout
Carpediem n'a pas multiplié par 5 mais par 13, l'inverse de 5.

Citation :
5 * 13 = 65 = 1 (+ 4 * 16)
C'est Bézout avec 5 et 16.


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