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Niveau maths sup
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Système d'équations

Posté par
sgu35
11-05-20 à 04:28

Bonjour,
je voudrais savoir pourquoi :
si D est la droite d'équation a_3 x+b_3 y+c_3=0, et D_1 et D_2 deux droites séxantes en \Omega d'équations
a_1 x+b_1 y+c_1=0 et a_2 x+b_2 y+c_2=0
elle passe par \Omega ssi les systèmes aux intersections suivants sont équivalents :

 \\ \begin{cases}a_1 x+b_1 y+c_1=0
 \\ a_2 x+b_2 y+c_2=0
 \\ a_3 x+b_3 y+c_3=0
 \\ \end{cases} 
 \\
et

 \\ \begin{cases}a_1 x+b_1 y+c_1=0
 \\ a_2 x+b_2 y+c_2=0
 \\ \end{cases}
 \\

Posté par
Mateo_13
re : Système d'équations 11-05-20 à 07:21

Bonjour,

les systèmes sont équivalents signifient qu'ils ont les mêmes solutions.

Si la 3ème droite ne passe pas par Oméga, le 1er système n'a pas de solution alors que le 2ème n'en aurait pas.

Si la 3ème droite passe par Oméga, alors ses coordonnées sont solution, et la 3ème équation est combinaison linéaire des deux premières, donc elle est inutile.

Un système à deux inconnues n'a besoin que de deux équations s'il n'a qu'une solution, pour des raisons de dimension.

Cordialement,
--
Mateo.

Posté par
Mateo_13
re : Système d'équations 11-05-20 à 07:22

signifie,
et non signifient.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Système d'équations 11-05-20 à 08:55

Bonjour,
En notant (1), (2) et (3) les 3 équations du 1er système, et p et q les coordonnées du point :
(1) et (2) x = p et y = q.
(1) et (2) et (3) x = p et y = q et (3).

Le premier système de l'énoncé a une unique solution : (p,q)

Si (p,q) ne vérifie pas (3), le second système de l'énoncé n'a pas de solution.
Si (p,q) vérifie (3), le second système de l'énoncé a une unique solution : (p,q)

Posté par
sgu35
re : Système d'équations 11-05-20 à 10:33

Citation :
Si la 3ème droite ne passe pas par Oméga, le 1er système n'a pas de solution alors que le 2ème n'en aurait pas.

Si la 3ème droite passe par Omega, le 2ème système a bien 1 solution non? C'est le couple (p , q)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Système d'équations 11-05-20 à 11:43

Oui, c'est certainement une coquille de Mateo_13.
Le second système a une unique solution, que la droite D passe ou pas par le point .

D'ailleurs, moi aussi, ça ne va pas : J'ai échangé 1er et 2nd système :
Le second système de l'énoncé a une unique solution : (p,q)

Si (p,q) ne vérifie pas (3), le premier système de l'énoncé n'a pas de solution.
Si (p,q) vérifie (3), le premier système de l'énoncé a une unique solution : (p,q)

Posté par
sgu35
re : Système d'équations 11-05-20 à 15:39

Citation :
Un système à deux inconnues n'a besoin que de deux équations s'il n'a qu'une solution, pour des raisons de dimension.

Ce qui signifie qu'un système d'une équation à deux inconnues x et y ne peut pas avoir une solution unique, et qu'à partir de deux équations, on peut avoir une solution unique?

Posté par
sgu35
re : Système d'équations 11-05-20 à 16:28

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi les deux systèmes sont équivalents :
en effet le second système admet toujours une solution unique puisqu'on a supposé que D1 et D2 sont sécantes en Oméga, alors que le premier système n'admet pas toujours de solution...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Système d'équations 11-05-20 à 17:05

En général, les deux systèmes ne sont pas équivalents.
Ça dépend de la droite D, selon qu'elle passe par le point ou pas.

Le second système, celui avec 2 équations a toujours une unique solution (a,b).

Pour le premier système, il y a deux cas.
1er cas : La droite D passe par .
Autrement dit (a,b) est aussi solution de la 3ème équation.
Le premier système a alors une unique solution (a,b).

2nd cas : La droite D ne passe pas par .
Autrement dit (a,b) n'est pas solution de la 3ème équation.
Le premier système n'a alors pas de solution.

Posté par
sgu35
re : Système d'équations 11-05-20 à 17:12

Donc si la droite D ne passe pas par \Omega, les deux systèmes ne sont pas équivalents si j'ai bien compris?



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