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Système d'équations linéaires

Posté par
Nolhados 11-05-21 à 09:55

Bonjour,
Voici un exercice que j'ai à traiter:
Résoudre le système suivant (inconnue (x_{1},x_{2,...,x_{n}})\in \mathbb{R}^{n}, paramètres (a_{1},a_{2,...,a_{n}})\in \mathbb{R}^{n}):
\left\lbrace\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2a_{1} \\ x_{2}+x_{3}=2a_{2} \\ . \\ . \\ . \\ x_{n-1}+x_{n}=2a_{n-1} \\ x_{n}+x_{1}=2a_{n} \end{matrix}\right.

J'ai essayé de passer par Gauss mais ce que j'obtiens n'est pas satisfaisant:
Une suite d'équations comme ceci:

x_{2}-x_{n}=2(a_{1}-a_{n})
x_{3}+x_{n}=2(a_{2}-a_{1}+a_{n})
x_{4}-x_{n}=2(a_{3}-a_{2}+a_{1}-a_{n})

J'ai l'impression que l'un des inconnues(xn dans mes expressions) devient ici un paramètre pour arriver à résoudre alors que cela ne devrait pas être le cas.
Par quels autres moyens puis-je passer?

Merci d'avance

Posté par
breuilre : Système d'équations linéaires 11-05-21 à 10:06

Bonjour
j'avoue que je n'ai pas pratiqué depuis plus de 40 ans.
mais peut-être si n est pair X1+X2 -(X2+X3)+X3+X4-........Xn-1 +Xn = ...........................(avec des a)
=X1-Xn serait utile.???

Posté par
Pirhore : Système d'équations linéaires 11-05-21 à 10:39

Bonjour,

en amateur

peut-être partir d'un exemple pour essayer de découvrir la méthode, soit n=5; on a

\begin{cases} x_1+x_2=2a_1~~(1) & \\ x_2+x_3=2a_2~~(2) & \\ x_3+x_4=2a_3~~(3)& \\ x_4+x_5=2a_4~~(4)& \\ x_5+x_1=2a_5~~(5)& \end{cases}
on peut écrire

x_1+x_2-x_2-x_3+x_3+x_4-x_4-x_5+x_5+x_1=2a_1-2a_2+2a_3-2a_4+2a_5

soit x_1=a_1-a_2+a_3-a_4+a_5~~(6)

(6) dans (1) donne x_2 et de proche en proche on trouve les autres x_k

mais j'imagine qu'il y a une "méthode" plus rigoureuse que je ne vois pas!!

Posté par
breuilre : Système d'équations linéaires 11-05-21 à 13:39

Du coup c'est plutôt si n est impair! Merci Pirho!
Donc en alternant les signes, et en ajoutant les n-1 premières lignes, si n est impair on trouve X1-Xn à combiner avec la dernière ligne. D'où X1, Xn etc...
Si n est pair on trouve X1 + Xn =2 (a1-a2.....+an-1).
S'il y a une contradiction avec la dernière ligne , pas de sol.
Sinon on peut supprimer la dernière ligne et on est ramené au premier cas.
Est-ce correct?

Posté par
Nolhadosre : Système d'équations linéaires 11-05-21 à 22:03

Exact breuil
Merci à vous deux

Posté par
Pirhore : Système d'équations linéaires 12-05-21 à 14:39

de rien à vous deux!

Posté par
breuilre : Système d'équations linéaires 12-05-21 à 14:59

Au revoir, bonne journée à tous les deux.


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