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Niveau Reprise d'études
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Système d'équations - Nombres complexes

Posté par
Autodidacte33
13-10-21 à 17:59

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre la correction de l'exercice sur les nombres complexes suivant :

Citation :
Résoudre dans \mathbb{R}^2 le système suivant :
\begin{cases} & \sin x + \sin y = \sin a \\ & \cos x + \cos y = 1+\cos a \end{cases}


Voici la correction proposée, c'est la partie en bleu qui pose problème  :

Correction:

Citation :
Le système est équivalent à :  \text{e}^{i x} + \text{e}^{i y} = 1+\text{e}^{i a}

\bullet \text{ si } a \equiv \pi [2\pi]
Le système est équivalent à x-y\equiv \pi[2\pi]

\bullet \text{ sinon }, quitte à échanger éventuellement \blue x et \blue y et à remplacer \blue x par \blue x+2\pi , on peut supposer :
\blue \dfrac{x+y}{2} \equiv \dfrac{a}{2} [2\pi] \text{ et }  \dfrac{x-y}{2} \equiv \dfrac{a}{2} [2\pi]
On a alors  x\equiv a [2\pi] \text{ et } y\equiv 0[2\pi]


Pouvez-vous s'il vous plaît m'éclaircir ce passage?

Je vous remercie d'avance

Posté par
philgr22
re : Système d'équations - Nombres complexes 13-10-21 à 18:47

Bonsoir ,
pense à la formule de l'arc double :
1+cos2a = 2cosa

Posté par
philgr22
re : Système d'équations - Nombres complexes 13-10-21 à 18:47

2cos2a pardon!

Posté par
GBZM
re : Système d'équations - Nombres complexes 13-10-21 à 18:49

Bonjour,


\large e^{ix}+e^{iy} = e^{i(x+y)/2}\left( e^{i(x-y)/2}+e^{-i(x-y)/2}\right)

Posté par
Razes
re : Système d'équations - Nombres complexes 14-10-21 à 09:06

Bonjour,

Pour le 1er point, tu procède par addition L_2+iL_1 et soustraction L_2-iL_1

\begin{cases} & \sin x + \sin y = \sin a \\ & \cos x + \cos y = 1+\cos a \end{cases} \begin{cases} & e^{-ix} + e^{-iy}= 1+e^{-ia}\\ & e^{ix} + e^{iy}= 1+e^{ia}\end{cases} \begin{cases} & e^{ix} + e^{iy}= \left (1+e^{-ia} \right )e^{i(x+y)} \\ & e^{ix} + e^{iy}= 1+e^{ia} \end{cases}

les deux dernières équations te permettrons de trouver une forme simple de e^{ix} en fonction  e^{-iy} et une équation du second degré en  e^{iy} tout seul à résoudre.

Posté par
philgr22
re : Système d'équations - Nombres complexes 15-10-21 à 19:38

Bonsoir à tous : en reprise d'etudes, je ne suis pas certain que ce soit la forme exponentielle qu'il devait utiliser.

Posté par
philgr22
re : Système d'équations - Nombres complexes 15-10-21 à 19:42

Desolé !J'ai ecrit n'importe quoi :j'avais mal lu sa demande...

Posté par
Razes
re : Système d'équations - Nombres complexes 15-10-21 à 20:20

Bonsoir,
 \begin{cases} & e^{ix} + e^{iy}= \left (1+e^{-ia} \right )e^{i(x+y)} = e^{-ia} \left (1+e^{ia} \right )e^{i(x+y)}\\ & e^{ix} + e^{iy}= 1+e^{ia} \end{cases}

Donc:
e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}=e^{ia} et e^{ix} + e^{iy}= 1+e^{ia}

Ce sont les racines d'une équation du 2eme degré.  (Somme et produit de racines)

Posté par
Autodidacte33
re : Système d'équations - Nombres complexes 18-10-21 à 00:48

Bonsoir tout le monde,

Je m'excuse tout d'abord pour ma réponse tardive, et je vous remercie pour vos réactions!

Je commence par la piste de GBZM qui, je crois,  correspond avec la correction du bouquin :

Citation :


\bullet  On avait trouvé que \text{ si } a \equiv \pi [2\pi], le système est équivalent à x-y\equiv \pi[2\pi]

On poursuit :

\bullet \text{ si } a \not\equiv \pi [2\pi]  . Le système est équivalent à :  

\begin{array}{cl}\text{e}^{i x} + \text{e}^{i y} = 1+\text{e}^{i a}&\iff  \large e^{i(x+y)/2}\left( e^{i(x-y)/2}+e^{-i(x-y)/2}\right)=e^{i a/2}\left( e^{i a/2}+e^{-i a/2}\right)\\\\&\iff  \large \begin{cases} & e^{i(x+y)/2} = e^{i a/2} \\ & e^{i(x-y)/2}+e^{-i(x-y)/2} =  e^{i a/2}+e^{-i a/2}\end{cases} (\star)\end{array}  

En effet,  \begin{cases} & \large e^{i(x+y)/2}\in \mathbb{C} \text{ et } e^{i a/2}\in \mathbb{C} \\ & \large e^{i(x-y)/2}+e^{-i(x-y)/2}\in \mathbb{R} \text{ et } e^{i a/2}+e^{-i a/2}\in \mathbb{R}\end{cases}

Donc :

\begin{array}{cl}(\star)&\iff \begin{cases} & \dfrac{x+y}{2}\equiv \dfrac{a}{2} [2\pi] \\ &\dfrac{x-y}{2}\equiv \dfrac{a}{2} [2\pi] \end{cases}  \\\\&\iff  x\equiv a[2\pi] \text{ et } y\equiv 0 [2\pi]\end{array}

Conclusion :

L'ensemble des solutions S du système est :

\boxed{\begin{cases} &S= \lbrace{ (\alpha, \alpha -(2k+1)\pi)  , \alpha\in \mathbb{R} \text{ et } k\in\mathbb{Z} \rbrace}  \text{ si } a\equiv \pi [2\pi] \\\\ &S= \lbrace{ (a+2k\pi, 2k\pi)  ,k\in\mathbb{Z}  \rbrace}  \text{ si } a\not\equiv \pi [2\pi]\end{cases}}


Pouvez-vous  vérifier ma rédaction? Merci!

Je vais essayer à présent de refaire l'exercice avec la méthode proposée par Razes .

Posté par
GBZM
re : Système d'équations - Nombres complexes 18-10-21 à 18:38

Bonjour,

Ta justification avec le produit d'un complexe et d'un réel est insuffisante. Ce qui est important est qu'il s'agit de complexes de module 1. Et encore, il faut faire gaffe que re^{i\theta}= -re^{i(\theta+\pi)}.

Posté par
Autodidacte33
re : Système d'équations - Nombres complexes 20-10-21 à 21:24

Bonsoir GBZM,

Avec les valeurs absolue, je retrouve un deuxième cas  qui ne figure pas dans al correction, voici mon brouillon :

\begin{array}{cl}\text{e}^{i x} + \text{e}^{i y} = 1+\text{e}^{i a}&\iff  \large e^{i(x+y)/2}\left( e^{i(x-y)/2}+e^{-i(x-y)/2}\right)=e^{i a/2}\left( e^{i a/2}+e^{-i a/2}\right)\\\\&\Rightarrow  |\large e^{i(x+y)/2}\left( e^{i(x-y)/2}+e^{-i(x-y)/2}\right)|=|e^{i a/2}\left( e^{i a/2}+e^{-i a/2}\right)| \\\\&\iff  |\large e^{i(x-y)/2}+e^{-i(x-y)/2}|=|  e^{i a/2}+e^{-i a/2} |  \text{ (En effet : } |\large e^{i(x+y)/2}|= |e^{i a/2}|=1 \text{ )} \\\\&\iff |\cos \left( \dfrac{x-y}{2}\right) | = |\cos \left( \dfrac{a}{2} \right) |\\\\&\iff  \cos \left( \dfrac{x-y}{2}\right)=\cos \left( \dfrac{a}{2} \right) \text{ ou }  \cos \left( \dfrac{x-y}{2}\right) =-\cos \left( \dfrac{a}{2} \right) \\\\&\iff \dfrac{x-y}{2}\equiv \dfrac{a}{2} [2\pi]  \text{ ou }  \dfrac{x-y}{2}\equiv \pi -\dfrac{a}{2} [2\pi]\end{array}

Posté par
GBZM
re : Système d'équations - Nombres complexes 20-10-21 à 23:02

Tu peux échanger x et y et dans le cas où \pi apparaît c'est que tu as aussi \dfrac{x+y}2\equiv\pi+\dfrac{a}2 \bmod{2\pi}. Il te reste la possibilité d'augmenter x de 2\pi.

Posté par
Autodidacte33
re : Système d'équations - Nombres complexes 21-10-21 à 18:03

Salut,

Ah oui, je crois que j'en ai oublié quelque unes, car d'une manière générale, on a \forall p,q\in\mathbb{R} \text{ : } \cos q = \cos p \Longrightarrow q\equiv p [2\pi]  \text{ ou } q \equiv -p [2\pi]  

Donc :

 \cos \left ( \dfrac{x-y}{2}\right) = \cos \left(\dfrac{a}{2}\right)\iff \left (\dfrac{x-y}{2} \equiv \dfrac{a}{2} [2\pi] \text{ ou  } \dfrac{x-y}{2} \equiv -\dfrac{a}{2} [2\pi] \right )

Et :

 \cos \left ( \dfrac{x-y}{2}\right) = -\cos \left(\dfrac{a}{2}\right) \iff \left (\dfrac{x-y}{2} \equiv \pi-\dfrac{a}{2} [2\pi] \text{ ou  } \dfrac{x-y}{2} \equiv -\pi+\dfrac{a}{2} [2\pi] \right )


Ce que je comprend de votre remarque GBZM, c'est que tous ces résultats sont équivalents, en effet, si on prend \dfrac{x-y}{2} \equiv \dfrac{a}{2} [2\pi] par exemple, on peut en tirer les autres , car :

En échangeant x et y, chose qu'on peut faire car on a \cos \left(-\dfrac{x-y}{2}\right)=\cos\left(\dfrac{x-y}{2}\right) , on retrouve :
\dfrac{x-y}{2} \equiv \dfrac{a}{2} [2\pi] \iff \dfrac{x-y}{2} \equiv -\dfrac{a}{2} [2\pi]


En augmentant x de 2\pi dans \left(\text{ car }x\equiv x+2\pi [2\pi]\right),  on tombe sur :
\dfrac{x-y}{2} \equiv \dfrac{a}{2} [2\pi]  \iff \dfrac{x+2\pi -y}{2} \equiv \dfrac{a}{2} [2\pi] \iff \dfrac{x-y}{2} \equiv -\pi +\dfrac {a}{2}[2\pi]

Et en échangeant x et y une deuxième fois dans cette dernière, on retrouve :
\dfrac{x-y}{2} \equiv \pi -\dfrac {a}{2}[2\pi]

Donc, en fin de compte, on ne retient que \boxed{\dfrac{x-y}{2} \equiv \dfrac{a}{2} [2\pi]  } \text{ (I)}

On remplace dans \large e^{i(x+y)/2}\left( e^{i(x-y)/2}+e^{-i(x-y)/2}\right)=e^{i a/2}\left( e^{i a/2}+e^{-i a/2}\right), ce qui donne \large e^{i(x+y)/2}=e^{i a/2}

Et donc \boxed{\dfrac{x+y}{2} \equiv \dfrac{a}{2} [2\pi]  } \text{ (II)}

De  \text{ (I) et (II) }, on déduit que x\equiv a [2\pi] \text{ et } y\equiv 0 [2\pi]

Finalement, l'ensemble des solutions du système est : \boxed { S=\lbrace{ (a+2k\pi,2k\pi) \text{ / } k\in\mathbb{Z} \rbrace}}

J'espère que j'ai bien compris...

Merci de vérifier ma résolution

Cdt

Posté par
GBZM
re : Système d'équations - Nombres complexes 21-10-21 à 19:34

Je ne m'y prendrais pas vraiment comme ça, je trouve ça un peu fouillis.
Quitte à ajouter 2\pi à x, on peut supposer que
e^{i(x+y)/2}=e^{ia/2}
\cos((x-y)/2)=\cos(a/2)
De la première égalité on déduit (x+y)/2\equiv a/2\bmod{2\pi}. De la deuxième, quitte à échanger x et y, on déduit (x-y)/2\equiv a/2\bmod{2\pi}.

Posté par
Autodidacte33
re : Système d'équations - Nombres complexes 22-10-21 à 13:58

Ah d'accord, mais je ne vois pas comment on passe de :
"\large e^{ix}+e^{iy} = e^{i(x+y)/2}\left( e^{i(x-y)/2}+e^{-i(x-y)/2}\right)"   à   "e^{i(x+y)/2}=e^{ia/2} \text{ et }\cos((x-y)/2)=\cos(a/2)"
en ajoutant 2\pi à x ?

Posté par
GBZM
re : Système d'équations - Nombres complexes 22-10-21 à 17:23


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