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Système de congruences

Posté par
etuupmc 08-01-21 à 21:00

Bonsoir,

Dans un exemple de mon cours, il est demandé de résoudre le système formé de x\equiv 5[27] et x\equiv 7[37].

Par Euclide et Bézout, on arrive à 11 \cdot 27 + (-8)\cdot37=1 jusque-là aucun soucis. Puis par conséquent x\equiv 5\cdot (-8)\cdot 37+7\cdot 11\cdot 27[27\cdot 37] pas de soucis non plus. Mais ils écrivent ensuite 5\cdot (-8)\cdot 37+7\cdot 11\cdot 27\equiv 7+(7-5)\cdot 8\cdot 37[27\cdot 37] d'où sort cela? Je ne comprends pas

Posté par
lionel52re : Système de congruences 08-01-21 à 21:08

Hello ! tu as déjà vu le théorème des restes chinois?

Posté par
etuupmcre : Système de congruences 08-01-21 à 21:29

Voici l'énoncé du théorème chinois de mon cours:
Soient m, n\geq 1, pgcd(m, n)=1 et a, b\in Z. Le système \begin{cases} & \text{} x\equiv a[m] \\ & \text{} x\equiv b[n] \end{cases}   a une unique solution modulo mn.

Posté par
lionel52re : Système de congruences 08-01-21 à 21:54

Oui et le théorème te dit aussi comment la déterminer !

Posté par
etuupmcre : Système de congruences 08-01-21 à 22:36

Ah oui, ils les ont mis dans la preuve!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Système de congruences 09-01-21 à 08:48

Bonjour,
Je propose une réponse à la question initiale de etuupmc sans utiliser le théorème des restes chinois.

Une fois trouvée l'égalité \; 1127 - 837 =1 , il suffit de l'utiliser :
x = 1127x - 837x

Si \; x \; est solution du système alors
x = 1127(7+37b) - 837(5+27a) \; où a et b sont des entiers.
D'où \; x 11277 - 8375 \; [2737]

Or \; 1127 = 1 + 837 .
D'où \; x (1+837)7 - 8375 \; [2737]
x 7 + (7-5)837 \; [2737]

Posté par
GBZMre : Système de congruences 09-01-21 à 09:35

Citation :
sans utiliser le théorème des restes chinois


Bonjour,

Si je peux me permettre, il s'agit là d'une publicité mensongère : ce que tu fais, c'est redémontrer le théorème des restes chinois dans ce cas particulier.

Partant d'une identité de Bézout um+vn=1, le système de congruences  x\equiv a\pmod m et x\equiv b \pmod n a pour solution x \equiv vna +umb \pmod{mn} . En effet vn \equiv 1\pmod m et um\equiv 1 \pmod n.
Le théorème des restes chinois, ce n'est rien d'autre que cela.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Système de congruences 09-01-21 à 10:15

Bonjour GBZM,
Je n'ai pas cherché à résoudre le système, seulement à répondre à ceci que etuupmc disait ne pas comprendre dans un exemple de son cours :

Citation :
Mais ils écrivent ensuite 5\cdot (-8)\cdot 37+7\cdot 11\cdot 27\equiv 7+(7-5)\cdot 8\cdot 37[27\cdot 37] d'où sort cela? Je ne comprends pas
Mettre en gras ce qui me semblait pouvoir être une réponse simple à cette question n'était peut-être pas assez explicite ?


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