x + y + z - t = 1
x - y + 2z + t = 2
3x + y + 4z - t = a
2x + 3z = 3

x = 1 - y - z + t
-->

1 - y - z + t - y + 2z + t = 2
3(1 - y - z + t) + y + 4z - t = a
2(1 - y - z + t) + 3z = 3

-2y + z + 2t = 1
-2y + z + 2t + 3 = a
-2y  + 2t + z = 1

-2y = 1 - z - 2t
-->

1 - z - 2t + z + 2t + 3 = a
1 - z - 2t + 2t + z = 1

4 = a
1 = 1
-----
On aboutit donc à a = 4 et à une évidence.

Cela devrait vouloir dire :

Que a = 4 est obligatoire et que au moins la valeur d'une des variables peut être choisie librement.
-----
Mais tout ceci est à vérifier.  

Merci a toi je tiens juste a te demandé qu'es ce que tu entends par une variable peut etre choisi librement.
Enfin je comprends
Par exemple je choisis, la variable y mais cela implique quoi dans les équations ???

Bonsoir: cela veut dire que tu peux prendre ce que tu veux pour y mais ensuite tu dois choisir t et z de facon à ce que tes équations soient toujours vérifié.
J-P a utilisé la méthode de substitution, essaie de retrouver son résultat avec la méthode du Pivot de Gauss, tu verras que c'est plus rapide et simple

x + y + z - t = 1
x - y + 2z + t = 2
3x + y + 4z - t = a
2x + 3z = 3

Imposer x = b --> z = 1 - (2/3)b

b + y + 1 - (2/3)b - t = 1
b - y + 2 - (4/3)b + t = 2
3b + y + 4 - (8/3)b - t = a

(1/3).b + y - t = 0
-(1/3).b - y  + t = 0
(1/3)b + y + 4 - t = a

Les 2 premières équations sont identiques --> il reste:

(1/3)b + y - t = 0
(1/3)b + y - t = a - 4

Ceci démontre que seul a = 4 est possible.

Il reste alors:

(1/3)b + y - t = 0

On peut donc encore choisir une des variables y ou t comme on veut.
Je pose alors y = c -->  t = c + (b/3)
-----
Finalement, on a :

A doit être = 4  pour que le système ait des solutions.

ces solutions sont:
x = b
y = c
z = 1 - (2/3)b
t = c + (b/3)

Avec b et c des réels quelconques.
-----

exemple je choisis b = 3 et c = 7

x = 3; y = 7; z = 1-(2/3)*3 = -1 ; t = 7 + 1 = 8 est solution du système (avec a = 4)

Comme on peut choisir b et c comme on veut ...

Il y a une infinité de solutions si a = 4 et pas de solutions si a est différents de 4.
-----
Sauf si je me suis planté.

Biensur d'accord Laurierie.
Mais bon cela revient au même la preuve :

L1 : x + y + z - t = 1
L2 : x - y + 2z + t = 2
L3 : 3x + y + 4z - t = a
L4 : 2x +3z = 3

En faisant les opérations suivantes :
L'1 <- L1
L'2 <- L2 - L1
L'3 <- L3 - 3.L1
L'4 <- L4 - 2.L1

J'obtient ce système :
L'1 : x + y + z - t = 1
L'2 : -2y + z + 2t = 1
L'3 : -2y + z + 2t = a - 3
L'4 : -2y + z + 2t = 1

On s'aperçoit que les lignes L'2 et L'4 sont les mêmes donc on peut les remplacer par une seule, donc le système devient :
L'1 : x + y + z - t = 1
L'2 : -2y + z + 2t = 1
L'3 : -2y + z + 2t = a - 3

Mais après que faire ???

Désolé de poster a la suite mais bon voila.

Je suis tout a fait d'accord avec toi J-P mais en cours j'ais dèjà fait des exos avec le même genre de situation, ou des lignes sont des combinaisons linèaire d'autre.

Le prof nous a donné la réponse mais je ne comprend pas comment il y est arrivée. Pour lui la réponse est :

Quelque soit la variable y appartenant a IR (l'ensemble des réels)
x = 2 - (a/2) -3y
y = y
z = -(1/3) + (a/3) + 2y
t = (2/3) - (a/6)

J'ais vérifé ces solutions et elles fonctionnent !

Donc si quelque pouvais m'expliquer comment le prof y ait arrivé !
Merci d'avance !

Pour moi, Ton prof s'est planté.

Monstration:

Supposons que la solution donnée par le prof soit correcte, soit:

x = 2 - (a/2) -3y
y = y
z = -(1/3) + (a/3) + 2y
t = (2/3) - (a/6)

Si c'est valable pour tout a, c'est valable entre autre pour a = 0

on aurait alors (pour a = 0)

x = 2 -3y
y = y
z = -(1/3)  + 2y
t = (2/3)

Comme on peut choisir y comme on veut (dixit le prof), je choisis y = 1 et on arrive à:

x = -1
y = 1
z = -(1/3) + 2 = 5/3
t = 2/3


J'essaie alors de vérifier une des équations de départ, soit 3x + y + 4z - t = a

3x + y + 4z - t = -3 + 1 + (20/3) - (2/3)
3x + y + 4z - t = -2 + (18/3)
3x + y + 4z - t = 4

Et on trouve a = 4 alors qu'on l'avait choisi = à 0.

---> ERREUR.

Les solutions du prof sont fausses.

Pour moi, on doit valoir a = 4 et RIEN D'AUTRE, sinon il n'y a pas de solution.
-----
Ou me trompe-je ?

bonjour

a=4
x=3(1-p)/2
y=(2q+p-1)/2
z=p
t=q

a#4 <=> pas de sol.

A vérifier...

Philoux

Pliloux, nos solutions sont équivalentes.

Je pars des miennes

x = b
y = c
z = 1 - (2/3)b
t = c + (b/3)

avec z = p et t = q -->
1 - (2/3)b = p
c + (b/3) = q

b = (3/2).(1-p)
c = q - (1/2).(1-p)

--> x = (3/2).(1-p)
et y = q - (1/2).(1-p) = (2q + p - 1)/2

On arrive donc à:

x=3(1-p)/2
y=(2q+p-1)/2
z=p
t=q
-----
Nos solutions sont donc équivalentes.

Salut J-P

toutafé

ferais-tu une confusion de lettres ? ou la proximité du "l" et du "h" en est la cause ?

Philoux

Sorry, je ne vois pas où j'ai écrit "l" ou "h" ?

C'est, en effet, le deuxième post où tu fais ce lapsus calami...

D'ailleurs, pour le précédent post, je t'avais posé une question qui est passée à la trappe...

Philoux

Ah oui, je vois ptiloux  

Philoux

Désolé pour le retard.
Mais je tiens a vous remercié pour votre aide que vous nous avez apportée.

Je dis nous car on est beaucoup a être resté bloqué sur ce système.

Merci a vous !