le système se traduit  f(U)=V avec u=(x,y,z) et v=(-12,18,k) la matrice de f est de rang 2 (à démontrer)
il faut établir pour quelle valeur de k   les deux premiers vecteurs colonnes de la matrice de f engendre un espace vectoriel qui contient v
on trouve une seule valeur de k.

Bonjour,

Tu as échelonné ton système en utilisant le pivot de Gauss. Très bien.
Mais vérifie ton calcul, parce que ton résultat n'est pas le bon.
Peux-tu recopier ici le système échelonné auquel tu arrives après correction ?
Si ton système comprend l'équation (avec le bon ),  cela entraîne qu'il n'admet de solution que si . Reste à voir qu'il admet bien au moins une solution pour , ce qui est facile à voir sur le système échelonné.
Ne te laisse pas impressionner par "les valeurs" dans l'énoncé, on te demande toutes les valeurs et il peut n'y en avoir qu'une, ou même zéro.

Fixons L1
L2 <--- L2 - 3L1 et L3 <--- L1-L3
x+y-z=-12
-8y +16z=54
3y-6z = -12-k
Fixons L2
L3 <--- 8/3 L3 + L2
x+y-z=-12
-8y+16z=54
0=8/3(-12-k) +54(C'est ici que j'avais fait une erreur de signe.)
L3 ----> 0=-96-8k+162
L3 ----> 66 = 8k ----> k=33/4

Pour que le système admette une solution il faut que  k=33/4.

salut

après la première opération en divisant par -8 et par 3 tu te simplifierais bien les choses ...

Vous avez raison, merci pour vos conseils

Question subsidiaire : peux-tu décrire l'ensemble des solutions quand k=33/4 ?

Quand k=33/4 le système admet une infinité de solutions.

Oui, et je t'ai demandé si tu pouvais décrire l'ensemble des solutions.

S={(-12-y+z,-27/4+2z, z)} avec z= valeur quelconque.

Et que vient faire le y dans ta description ?

Oh désolé, je dois le remplacer par -27/4+2z pour trouver x en fonction de z seulement.

OK.

Merci à vous

Avec plaisir.