Bonjour,

Pour les valeurs de tel que le déterminant soit non nul, il n'y a effectivement qu'une seule solution, c'est (0,0,0)

Pour les valeurs de qui annulent le déterminant, il faut étudier le rang du système résultant :
- si le rang est 2 (tu as 2 lignes proportionnelles), alors tu te ramènes à un système de 2 lignes (une des 2 proportionnelles et la troisième), tu considères par exemple z comme paramètre, tu fais passer les termes en z à droite, et tu résouds le système à inconnues x et y en fonction du paramètre z
- si le rang est 1 (tu as 3 lignes proportionnelles), alors tu considères par exemple y et z comme paramètres, et tu détermines x en fonction des paramètres y et z
  

d'accord merci je vais essayer ça !

Sauf erreur, après calcul et factorisation du déterminant, tu as 3 racines distinctes : 1, 1/2 et 1/3.
Ces racines sont en fait les valeurs propres de la matrice que tu obtient quand tu fait = 0.
En effet, si tu appelles A la matrice obtenue en faisant = 0, tu remarques que ta matrice en est de la forme (A-I), où I est la matrice identité de rang 3.
Avec les mêmes notations, le système lui-même est le système de recherche des valeurs propres et vecteurs de A, soit :
A.X = X
Donc le déterminant de la matrice de base, considéré comme un polynôme en , n'est autre que le polynôme caractéristique de A.
Comme les 3 racines de ce polynôme sont réelles et distinctes, tu peux affirmer que, pour chaque racine, le système est de rang 2.

oui en fait il y avait une question au préalable et on me disait (A-I)X=0 tout ça en matrice.

par contre je n'arrive pas à appliquer la méthode que tu m'as donné précédemment. ici on a un système de rang 3 c'est bien ça ?

je viens d'essayer de quand meme faire la methode du pivot de gauss mais je termine avec comme seule condition different de 0 j'irai voir ma prof demain je pense.
merci quand meme

Le rang depend de la valeur de . En general c'est 3, donc la seule solution est (0,0,0). Pour les trois valeurs que je t'ai indiquées plus haut, le rang tombe à 2, et il faut alors considérer une des 3 variables comme un paramètre et trouver les  deux autres en fonction de ce paramètre.

Bonjour
première choses à faire avec ce système, avant toute méthode style Gauss : multiplier les équations pour éviter les fractions !

(7-12a)x - 2y +z =0
-x +(2 - 3a)y -z = 0
x -2y +(7 - 12a)z = 0

ça parait tout de suite plus simple
(je remplace lambda par a c'est plus simple à taper)

la première moins la dernière donne 6(1 - 2a)(x-z) =0*
donc premier cas particulier : a = 1/2
en dehors de ce cas particulier, x = z, ce qui simplifie grandement le système

-->lafol, si on considère le déterminant du système, qui est de la forme (A-aI), comme un polynôme en a, ce que tu as déjà vu, alors ce polynôme est le polynôme caractéristique de A, et les v.p. de A sont, sauf erreur de calcul de ma part, 1, 1/2 et 1/3, ce que tu as probablement aussi déjà vu...

bien sûr ! mais Pauline avait l'air de vouloir tenter quand même un pivot de Gauss
c'était pour lui montrer qu'en organisant bien les calculs, c'est jouable

mais appeler les cas particuliers valeurs propres n'avance guère. ce qu'on veut c'est les solutions selon les valeurs de a. savoir que ce sont des espaces propres n'y change pas grand chose

Si tout de même, comme on sait qu'il y a 3 v.p. distinctes, on peut prédire que dans les 3 cas particuliers on n'aura que 2 lignes proportionnelles, donc des multiplicités de solution à 1 paramètre...

ça se voit assez vite quand on a les cas particuliers, qu'on n'a pas trois équations proportionnelles ....