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systèmes differentiels
Bonjour, j'ai des problèmes pour faire cet exo :
Soit x(t) la solution du problème de Cauchy suivante
x(t) = A(t)x(t) + b(t)
x(0) = x0 ∈ E où E = R
^d
la fonction matricielle A(t) et la fonction source b(t) sont bornées sur I= [0, T].
Montrer que x(t) est bornée sur I.
Au début j'ai fait ça :
Comme A(t) et b(t) sont bornés,
|A(t)|≤M et |b(t)|≤N
=> |x(t)A(t)|≤|Mx(t)|
En faisant la somme avec |b(t)| j'obtiens |x(t)A(t)| + |b(t)| ≤|Mx(t)| + N
D'après l'inégalité triangulaire on obtient :
|x(t)A(t) + b(t)|≤|Mx(t)|+N
=> |x'(t)|≤M|x(t)| + N
Et c'est là où je bloque🤔
Oui c'est ce que j'ai essayé d'appliquer.
N'est ce pas le lemme de gronwall dit que si f, g et y sont des fonctions positives sur un intervalle [a,b] et que
y(t) ≤ f(t) + integrale de a à t de y(s)g(s)ds
alors
y(t) ≤ f(t) + intégrale de a à t [f(s)g(s)exp(integrale de a à t de g(u)du)ds]
Pour tout t de [a,b].
Maintenant moi j'essayais d'obtenir cette condition là avant d'appliquer le lemme : y(t) ≤ f(t) + integrale de a à t de y(s)g(s)ds
Désolé de la réponse tardive🙏🙏
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