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T S ARITHM
bonjour,
j'ai un problème avec mon exercice, merci de maider...
a et b désignent deux entiers naturels premeirs entre eux. On note
S=a+b , P=ab, D=a-b
1) Démontrer que a et S sont premiers entre eux et quil en est de même
de b et S.
Pourça, j'ai utilisé Bézout...
au +bv=1
au -ub +ub +bv=1
u(a+b) + b(v-u) = 1
u,v appartiennent Z
dc on a bien S et b premiers entre eux.
ua +va -va +vb=1
v(a+b) + a(u-v)=1
avec u v appartiennent Z
on a bien a et S premiers entre eux.
Pour les questions suivantes je bloque réellement...
2) a) Démontrer que tout diviseur commun d à P et S est un diviseur
de PGCD (P,Sb). En déduire que d divise b.
b) Démontrer de même que d divise a.
c) En déduire que S et P sont premiers entre eux.
3) Démontrer que PGCD(S,D) est égal à 1 ou à 2.
4) c désigne un entier supérieur ou égal à 2.
a) Démontrer que si c divise S, alors a et c sont premiers entre eux
et qu'il en est de même de b et c.
b) Démontrer que si c divise a, alors b et c sont premiers entre eux.
voilà, merci bcp.
1) vous avez très bien utilisez Bézout pour montrer que a et (a+b)
sont aussi premiers entre eux.
mais comme a et b jouent le même rôle dans (a+b) vous pouvez conclure
sans reprendre la démonstration que b et (a+b) sont aussi premiers
entre. ( en math on parle de questions symétriques)
2)a) si d divise S et P donc d divise Sb et P
donc d divise leur PGCD (P,Sb) car le PGCD est le plus grand diviseur
commun et d est un diviseur commun.
donc d divise PGCD(P,Sb)
en remarquant que b²=Sb-P
donc d divise b².
donc PGCD(P,Sb)=PGCD(P,b²)
comme
il existe (u,v)EZ tels que ua+vb=1 ( a et b premiers entre eux)
en multipliant par b les deux membre vous avez uab+vb²=b
uP+vb²=b
comme d divise P et b²
donc d divise b=uP+vb²
b) par symétrie du problème pour a et b on a aussi d divise a
c) en résumé on a montré que :
(d divise S et P) implique (d divise a et b)
cela se traduit par PGCD(S,P)=PGCD(a,b)
comme a et b sont premiers entre eux alors PGCD(a,b)=1
donc PGCD(S,P)=1
donc S et P sont premiers entre eux.
3) PGCD(S,D)?
en remarquant que S+D=(a+b)+(a-b)=2a
donc si d divise S et D alors d divise 2a
comme S et a sont premiers entre (question1) donc d divise 2
donc d = 2 ou 1 car 2 est un nombre premier.
en résumé PGCD(S,D)=1 ou 2
4) c>=2 ; cEZ
a et S sont premiers entre eux donc il existent u et v éléments de
Z tels que :
ua+vS=1
si c divis S donc il existe qEZ tel que S=cq
donc
ua + vqc=1
donc ils existent u et (vq) éléments de Z tels que :ua + (vq)c=1
donc a et c sont premiers entre eux.
b) a et b sont premiers entre eux donc il existent u et v éléments de
Z tels que :
ua+vb=1
si c divis a donc il existe qEZ tel que a=cq
donc
uqc + vb=1
donc ils existent (uq) et vq éléments de Z tels que : (uq)c + vb=1
donc b et c sont premiers entre eux.
remarquez que c'est la même démonstration que pour a)
on aurez pu dire simplement on fait jouer à b le rôle de S et conclure
que b et c sont premiers entre eux.
voila je vous remercie.
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