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Niveau Licence Maths 1e ann
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Table de groupe

Posté par
Nolhados
01-09-21 à 23:36

Bonsoir,
Soit G={a,b,c,d} un groupe noté multiplicativement. Compléter la table de G suivante :

J'ai a*b=b*a=c et c*c=c donc c est l'élément neutre d'où
a*c=c*a=a
b*c=c*b=b,
d*c=c*d=d
.
d*b=ac et d*c=dc donc le symétrique de d est a d'où a*d=d*a=c.   Ainsi b=d.
b*d=b*a*a=c*a=a
d*d=a*a*d*c=a*c*c=a*c=a.  Or d=b donc b*b=a

Merci de vérifier mes réponses.

Table de groupe

Table de groupe

Posté par
lionel52
re : Table de groupe 02-09-21 à 09:26

Hello ! C'est pas bon il faut que toutes les lettres apparaissent une seule fois par ligne et par colonne

Posté par
carpediem
re : Table de groupe 02-09-21 à 09:56

salut

et l'énoncé est incomplet : comment sais-tu que ac = ca ?

Posté par
GBZM
re : Table de groupe 02-09-21 à 10:21

Bonjour,

Tu as identifié correctement l'élément neutre c. Par contre tu te trompes en disant que a est le symétrique de d. Regarde, on a ab=ba=c. Donc a^{-1} = {?}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Table de groupe 02-09-21 à 11:00

Bonjour,
Plus on est de fous...
Une fois renseignées lignes et colonne de l'élément neutre c, on peut terminer en utilisant la remarque de lionel52.

PS L'énoncé n'est pas incomplet :

Citation :
c*c=c donc c est l'élément neutre
D'où ac = ca = a.

Posté par
Nolhados
re : Table de groupe 02-09-21 à 20:40

Bonsoir GBZM. Je vois mon erreur. a^-1=b
Salut carpediem je l'ai obtenu par déduction du fait que c est l'élément neutre comme l'a indiqué Sylvieg. L'énoncé n'est pas incomplet.

J'ai observé vos remarques. Je ne pourrai pas attacher l'image du tableau remanié vu que j'écris actuellement sur téléphone donc veuillez admettre que j'écrive les résultats comme-suit.

a*c=c*a=a
b*c=c*b=b,
d*c=c*d=d.
a est le symétrique de b. c est son propre symétrique donc d est son propre symétrique d'où
d*d=c

b*d=b*a*a=c*a=a

Avec la remarque de Lionel, j'ai
a*d=d*a=b
b*b=d

Mais pourrais-je avoir une justification de cette remarque ?

Posté par
GBZM
re : Table de groupe 03-09-21 à 11:59

Réfléchis, c'est très simple.
Soit G un groupe, g un élément de G.
Que peux tu dire de l'application "multiplication à gauche par g" :

\begin{aligned} G&\longrightarrow G\\ x&\longmapsto gx \end{aligned} ?

Même question pour l'application "multiplication à droite par g".

Posté par
Nolhados
re : Table de groupe 04-09-21 à 22:32

Salut GBZM. Ah je vois.Ces applications sont bijectives.
Merci



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