Hello

En faisant l'hypothèse d'un emprunt à annuités constantes (ce qui me semble une hypothèse raisonnable), le capital restant dû se calcule par construction d'une suite arithmético-géométrique à partir de

Intérêt pour la période n:                                      
Capital restant dû à la fin de la période n    

Où A est le montant fixe de l'annuité (calculé afin d'annuler le capital au rang 75)

Donc, la seule donnée du capital restant du au rang 21 me semble insuffisante.

D'ailleurs, sauf erreur de calcul (suis étourdi ...)
On arrive à 16 657,97 après le paiement de la 21ème mensualité pour par exemple:

18.616,10 € emprunté à 3%
17.483,30 € emprunté à 5%

(bon, après je ne fais pas de calcul de capital restant dû tous les jours ... donc il y a peut être  quelque chose qui m'échappe dans les hypothèses à considérer)

Bonjour à tous

DIRAC vous avez raison en affirmant  : "Donc, la seule donnée du capital restant du au rang 21 me semble insuffisante."

Les formules que vous utilisées, à savoir :
     I_n = C_{n-1}\times t
   C_n = C_{n-1}-(A-I_n)

utilisent les termes suivants  :
I = taux d'intérêt
C = Capital
n = nombre de versements
Cn = Capital restant dû

soit QUATRE éléments de calcul.

Or, l'énoncé nous fournit DEUX  éléments :
* n = nombre de versement
* Cn = capital restant dû

L'énoncé nous demande de calculer DEUX éléments
* i = taux d'intérêt
* C = capital
avec l'aide de UNE SEULE EQUATION (ou formule)

Conclusion : résultat impossible on aura que des couples de solutions "TAUX-CAPITAL"

Il existe une formule de mathématiques financières qui permet de trouver "facilement" ces couples de solutions.

Mais la vérification de ces solutions demandent de confection chaque fois d'un tableau d'emprunt de 75 versements (soit 75 lignes), tableau d'emprunt "facile" à réaliser sur mon tableur favori……mais qui est impossible à transférer sur "ILEMATHS.NET"

Je pourrais proposer, au titre de chaque vérification, une présentation sur  375 ou 450 lignes !!! Désolé ……

A bientôt

Bonjour à tous et bonne année

Pour résoudre ce problème, et surtout pour la vérification de la solution,
il est nécessaire d'établir le TABLEAU DE REMBOURSEMENT DE l'EMPRUNT

I - PRESENTATION DU TABLEAU DE REMBOURSEMENT

1) RAPPEL DE LA METHODE POUR ETABLIR UN TABLEAU DE REMBOURSEMENT D'UN EMPRUNT

Le tableau de remboursement d'un emprunt sur présente sous la forme d'un tableau comportant
les colonnes suivantes :

A) Colonne 1 : Numéro du mois de remboursement

Il s'agit du numéro d'ordre du paiement de la mensualité.
Dans le présent exercice il y a 75   mensualités, d'où les numéros d'ordre
s'échelonnerons de 1   à 75   .

B) Colonne 2 : Capital restant dû en début de mois

Comme son nom l'indique il s'agit du capital dû en début de mois.
L'énoncé nous donne l'indication suivante :
"Sachant qu'après le 21 ème remboursement le capital restant dû est de 16 657,97   €."
Cette Information sera aussi reportée sur la tableau d'emprunt de la façon suivante .
Le capital restant dû en début du 22   mois est de 16 657,97   €.

NB : le capital restant dû au début du Ier mois est égal au capital emprunté.
Cette information n'est pas communiquée dans l'énoncé.

C) Colonne 3 : Montant de la mensualité payée

Cette information n'est pas communiquée dans l'énoncé.

D) Colonne 4 : Montant des intérêts du mois

Le montant des intérêts du mois est calculé de la façons suivante :

Formule : Capital restant dû en début de mois  * par le taux intérêt mensuel

L'énoncé nous fournit QU'UN SEUL capital restant dû : 16 657,97   pour la fin de la période 21  
L'énoncé nous demande de calculer le taux.

E) Colonne 5 : Montant de l'amortissement de l'emprunt pour la période

Le montant de l'amortissement de l'emprunt pour la période nous est donné par la formule :

Montant de la mensualité (colonne 3)   -   Montant des intérêts du mois (colonne 4)
Nous avons aucun renseignement sur ces deux termes

F) Colonne 6 : Montant du capital restant dû en fin de période

L'énoncé nous indique :
"Sachant qu'après le 21 ème remboursement le capital restant dû est de 16 657,97   €."

On sait, en outre,  qu'à la fin du règlement de la totalité des 75   mensualités le capital restant dû est égal à ZERO.

G) Pour aider à la confection d'un tableau d'emprunt il faut connaitre la LOI d'AMORTISSEMENT suivante :

Dans un emprunt remboursable par annuités constantes, les amortissements
successifs forme une progression géométrique croissante de raison (1 + i), avec
"i" étant le taux périodique exprimé pour 1.

Dans cet énoncé on ne connais pas :
* ni un des amortissements
* ni le taux "i" pour 1

Par contre, on connait capital restant dû après le 21   ème règlement : 16 657,97  

2) CONFECTION DU TABLEAU D'EMPRUNT

J'ai confectionné le tableau de remboursement de l'emprunt sous une forme de tableau avec mon tableur préféré.
Le transfert de ce tableau donne des résultats "illisibles" : …...je suis désolé.

Je vais donc présenter le tableau d'emprunt non pas en colonnes mais en lignes.

Numéro du mois de remboursement 1
Capital restant dû en début de mois inconnu
Montant de la mensualité payée inconnu
Montant des intérêts du mois inconnu
Montant de l'amortissement de l'emprunt pour la période inconnu
Montant du capital restant dû en fin de période inconnu

Numéro du mois de remboursement 2
Capital restant dû en début de mois inconnu
Montant de la mensualité payée inconnu
Montant des intérêts du mois inconnu
Montant de l'amortissement de l'emprunt pour la période inconnu
Montant du capital restant dû en fin de période inconnu

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Numéro du mois de remboursement 21
Capital restant dû en début de mois inconnu
Montant de la mensualité payée inconnu
Montant des intérêts du mois inconnu
Montant de l'amortissement de l'emprunt pour la période inconnu
Montant du capital restant dû en fin de période 16 657,970000  

Numéro du mois de remboursement 22
Capital restant dû en début de mois 16 657,970000  
Montant de la mensualité payée inconnu
Montant des intérêts du mois inconnu
Montant de l'amortissement de l'emprunt pour la période inconnu
Montant du capital restant dû en fin de période inconnu

****************************************************************************
Numéro du mois de remboursement 74
Capital restant dû en début de mois inconnu
Montant de la mensualité payée inconnu
Montant des intérêts du mois inconnu
Montant de l'amortissement de l'emprunt pour la période inconnu
Montant du capital restant dû en fin de période inconnu

Numéro du mois de remboursement 75
Capital restant dû en début de mois inconnu
Montant de la mensualité payée inconnu
Montant des intérêts du mois inconnu
Montant de l'amortissement de l'emprunt pour la période inconnu
Montant du capital restant dû en fin de période ZERO

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La confection du tableau d'amortissement est impossible.

(à suivre)

II - RESOLUTION DE CE PROBLEME GRACE A UNE FORMULE DE MATHEMATIQUES FINANCIERES

On a la formule suivante pour calculer le capital restant dû après le "d ième"
amortissement :

M(d) = C  *    [  ( 1 + i ) ⁿ  -   ( 1 + i ) ᵈ  ]    /      [  ( 1 + i ) ⁿ  -   1   ]

avec :

M(d)   = Capital restant dû après le "d ième" amortissement
C = Montant du capital emprunté
n = durée de l'emprunt ou nombre total d'amortissement
d = nombre de périodes d'amortissements déjà remboursés
i = taux d'intérêt de l'emprunt exprimé pour 1

En fonction des éléments fournis par l'énoncé on a :

M(d)   = 16 657,970000  
C = inconnu
n = 75
d = 21
i = inconnu

La formule devient :

16 657,970000       =       C  *    [  ( 1 + i )⁷⁵  -   ( 1 + i ) ²¹  ]       /     [  ( 1 + i )⁷⁵  -   1   ]

Une très jolie formule mais impossible de la résoudre.

CONCLUSION : la solution de ce problème est impossible.

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A SUIVRE
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Pour allez plus loin :

Si l'énoncé était le suivant :

Un capital X a été emprunté  sur 75 mois au taux d'intérêt périodique de "i" pour 1.

Sachant :
a) qu'après le 21 ème remboursement le capital restant dû est de 16 657,970000   €.
b) qu'après le 49 ème remboursement le capital restant dû est de 8 468,919198   €.

On demande :
* de  retrouver le capital emprunté et le taux d'intérêt.
* d'établir le tableau de remboursement de l'emprunt

Le lecteur pourra résoudre ce problème.

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