Bonjour,
Pour voir si j'ai bien, compris...

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Pour n=1;r=2/2

Puis

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n=2;r=(1.25)/2

Bonjour dpi,

Tu as tout compris et on ne peut pas faire mieux, tu as réussi les 2 premières étapes, bien joué, il n'y a plus qu'à continuer...

Je ne te le demande comme ce ne sont pas encore les étapes les plus difficiles mais pour la suite, il faudra peut-être des dessins pour nous convaincre, à voir

Ok

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Pour n=3 on doit couvrir les triangles rectangles formés entre les cotés du carré et le triangle équilatéral maximum inscrit.
Les hypoténuses sont égales à  cos 15° donc;

n=3 ;r= ( 1/cos/12)/2

Oui, belle proposition mais on peut faire mieux pour

Je ne vois pas mieux pour n=3

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Je pense qu 'il faut couvrir le plus grand pentagone inscrit.

Hum ok pour je n'aurai pas mieux mais pour , tu n'as pas l'impression de m'arnaquer un peu ?
Comment tu fais pour recouvrir ce qu'il reste avec les 2 cercles du haut ? C'est pas possible, puisque le cercle vert doit passer par V et le cercle bleu doit passer par B. D'ailleurs c'est très visible sur ton schéma, tu me dis, le coté du pentagone correspond au diamètre et il devient subitement une corde quand ça t'arrange, je ne suis pas trop d'accord.

pour n=3, je propose r=racine (65/256)

PS : je n'ai pas abandonné le sujet 'tableau monochrome'. Peut-être un jour ...

ty59847 remporte l'enchère pour , on ne pourra plus le battre mais il lui faut maintenant convaincre dpi qui a tout de même a son actif , et donc qui reste le grand gagnant pour le moment.

Pour n=5  ,je vais revoir ma copie ....
Pour n=3  j'aimerais voir la figure de ty59847
Pour n=6 ,j'en suis à r= 0.3

Pour , on peut faire légèrement inférieur à 0,3 mais pour autant je ne te crois pas sur parole pour 0,3 car il va falloir me le prouver si tu l'annonces et avec un dessin sans arnaque

Je n'ai pas d'outil pour faire un dessin. Mais voici la mécanique.

Les 4 sommets du carré sont les points (0, 0)(0, 1)(1, 1) et (0, 0)
Les 3 segments suivants sont des diamètres des 3 cercles :
(0, 0.5)(a, 0)
(0, 0.5)(a, 1)
(a,0)(1,1) ou encore (a,1)(1,0) pour le 3ème cercle

C'était l'idée de départ pour bâtir la structure. Restait à trouver pour que les cercles aient le même diamètre.
Et ça donne .

Traduction comme je l'avais déjà fait

Bonjour,

Pour n=3 , d'accord avec ty59847, r=0.5038911

Pour  n=5 ,pas d'arnaque je  maintiens r= 0.312869

Je garde cette disposition en agrandissant  le diamètre  à environ 0.67  soit  r= 0.335.
Je vais  affiner le calcul.

Donc je ne  maintiens pas 0.312869

Pour 5 cercles, voici un dessin qui va permettre de poser des équations ... et j'imagine que ces équations ne devraient pas poser énormément de problème.

Chaque petite étoile représente un point multiple. C'est donc un point qu'on va chercher à placer précisément.   L'étoile qui est proche du centre du carré est sur la même verticale que les 2 autres étoiles, elle est même au milieu de ces 2 points.
Les traits verts sont des diamètres.
Etc etc

Nos figures sont très proches  on devrait être à environ r=0.335
Pour n= 6, je joue la symétrie avec une corde de 0.5 et une autre de 1/3 ce qui donne r=0.3004 mais Vassillia demande -0.3

Les figures sont proches, mais l'idée est de mettre en lumière les points critiques.
La solution est optimale quand les cercles se croisent exactement sur le bord du carré.   Et idem, il y a l'autre point critique vers le centre du carré, où 3 arcs de cercle doivent se croiser.
On ne devrait avoir aucune portion à l'extérieur du carré, et qui soit dans 2 cercles (au moins pour n=5 ... à confirmer pour la généralisation à toutes les valeurs de n).

Et enfin, on a des symétries...  qu'il faut exploiter.

J'y suis arrivé avec un mélange de trigo et de Pythagore

r= 32009907  

Mais je ne respectais pas la jonction de l'étoile NOO
en rectifiant  r= 0.261606

grrr---je fatigue  r=0.3261606

Belle collaboration de ty59847 et dpi qui se sont associés pour trouver le plus petit rayon pour , ça fait plaisir ! Bravo
J'ai encore un peu de temps devant moi puisque je connais les valeurs jusqu'à 30 mais vous allez vite quand même

Les équations ne sont pas si faciles que ça à résoudre. Je pensais que Pythagore suffirait, mais apparemment non.
Galère en effet.
En réinjectant ton 0.3261606 dans les équations, on confirme que c'est bon, et que c'est en fait un tout petit peu plus petit 0.326160584 par tâtonnement.

Pour 6 cercles, la meilleure disposition semble celle-ci.
Les points critiques sont marqués en rouge, comme pour le dessin précédent.
Aux points critiques à l'intérieur du carré, les cercles gris sont tangeants 2 à 2, et les cercles bleus aussi.

Le dessin n'est pas très précis, parce que les lignes horizontales correspondent normalement à 1/3 et 2/3

Il n'y a plus qu'à poser les équations !

En fait on trouve même 0,32616058400398728086...
Je n'ai aucun mérite puisque j'ai mis la main sur un article qui a calculé tout ça avec un ordinateur utilisant la méthode quasi-Newton avec BFGS.
Je dirai que c'est bon à partir du moment où les décimales annoncées sont correctes. Bon courage à vous pour la suite

Pour mon compte, comme tu peux voir j'ai joué sur la variable x
donnant le diamètre  avec Pythagore  donc la  cote violette donc la corde orange.
En calculant la flèche grenat:
1/avec la soustraction pure et simple  2r-(1-x)
2/ avec l'angle au centre .
En comparant 1/ et 2/ l'égalité est prouvée avec x=0.41895454..
r= 0.32616058...

Pour r=7 ,j'ai une solution à affiner de 0.288

Voici ce qui peut marcher pour n=7
x0.2699206-->r0.2841036

De la méthode. Il faut de la méthode. Et ensuite, il faut des calculs.
Ici, ton cercle en haut au milieu .... qu'est ce qui interdit de le faire glisser plus vers le haut.
Si tu le pousses plus vers le haut, tu peux écarter un peu plus tes 2 cercles en haut à droite et à gauche. Et du coup faire descendre un peu plus la ligne horizontale avec les 3 points ... ou en fait, tu peux obtenir une couverture exhaustive avec des cercles un peu plus petits.
Avec cette structure ci dessous (le cercle en haut au milieu s'appuie sur le point critique), on arrive à r=0.2819346 ;
le segment vertical vert a mesure 0.26067 et le segment horizontal b mesure 0.29804

D'accord avec toi ,ma corde orange me paraissait trop courte,mais
j'avais  trouvé un bon résultat avec les 3 segments verticaux  égaux  (1/3 ).
Ensuite,j'ai tenté de diminuer r ,mais je ne couvrais plus .
Je pense donc que ton résultat est optimum.

Pour continuer ,cela va être fastidieux ,aussi que penses-tu d'aller
directement à n=30 puis de revenir au fil des semaines  aux autres valeurs.

En  utilisant mon tableur  ,je retrouve bien ton maxi .
Dans une nouvelle vie je me mets à Géogébra

A priori, il y a des seuils un peu particuliers :
4 : on avait un 'pavage', 2 lignes 2 colonnes.
9 : on devrait avoir un pavage 3 lignes 3 colonnes
16 et 25, et dès que n est un carré parfait : pareil.

Les cas où n est de la forme k²+1 ( donc n=5,10,17,26 ...)
On devrait avoir une forme avec un pavage régulier, sauf la première ligne, où on a un cercle de plus.
Ces cas là semblent assez simples à construire, même si les calculs ensuite sont compliqués.

Les cas où n est de la forme k²+k ( 6, 12, 30 ...) : a priori, la forme avec k lignes de k+1 cercles chacune semble adaptée. C'est ce qu'on avait pour n=6.
Les calculs ne sont pas simples, mais si on veut juste une valeur numérique, la méthode par tâtonnement donne de très bons résultats, dès qu'on a posé les bonnes équations.
C'est par tâtonnement que j'ai trouvé les décimales de  0,326160584, à partir des bonnes équations.

Donc 30 devrait être un cas particulier assez facile.

On peut avoir des surprises, mais je n'y crois pas.

Reste les cas où n est vraiment quelconque.

n=11, n=18 par exemple.
Pour 18 par exemple, on imagine bien une ligne avec 5 cercles quasiment alignés, puis 2 lignes avec 4 cercles quasiment alignés, et à nouveau une ligne avec 5 cercles. Mais peut-être que c'est mieux avec 5+4+5+4.

Rien d'évident...

Bonjour, pour , on peut penser à une autre structure qui donne une plus petite valeur pour le rayon. La première ligne avec un cercle de plus n'est pas la meilleure idée d'ailleurs pourquoi avoir choisi la première ligne ?

Pour n= 30 ,j'ai une approche de r=0.1255

>Vassillia
Merci ,effectivement il y a plus "symétrique" .Je cherche...

J'en suis à r=0.274291886  pour n=7

Pour faire plaisir à ty59847

3x²-4x+0.75=0

Le duo dpi-ty59847 est imbattable, c'est bien la meilleure valeur pour , un petit dessin pour voir à quoi il ressemble ?
Pour , il y a des progrès à faire encore

Une joli disposition .

>Vassillia

Quand tu dis pour n=30, "il y a du progrès à faire",doit-on
comprendre < ou > 0.1255 ?

Il y a mieux car on peut trouver un rayon plus petit.

Pour n relativement grand (n=20 ou 30 ...), effectivement, le quadrillage avec des belles lignes à angle droit ne semble pas optimum du tout.
Un pavage optimum avec des cercles, c'est quand on reproduit le pavage standard, avec des hexagones réguliers. Un peu comme le dessin ci-dessous. Autour du cercle jaune, on a 6 cercles verts, avec des angles de 60° à chaque fois.
Et à partir de cette base, il faut tordre un peu le dessin, pour ajuster au carré.
Donc en gros, faire monter les colonnes 1,3 et 5, et faire descendre les colonnes 2,4 et 6.
On n'aura plus les angles idéaux de 60°. et on n'aura probablement plus des alignements aussi réguliers.
Très galère.
On peut déjà faire une approche, en supposant les alignements toujours aussi réguliers. On va pouvoir calculer quels angles on a (comment les 6 cercles verts doivent être disposés autour du jaune,pour avoir un carré, en reliant les points critiques.
Mais on ne sera toujours pas à la configuration optimum.

C'est une bonne idée ,je cherche...

On utilise ton pavage pratiquement partout  5x5  puis on bloque deux cercles noir au sud  il reste 3 cercles noirs pour colmater des
légères distorsions en  centre est.
Mais on reste autour de r=0125

Pour n=30
Avec cette configuration 5x5+ 5bouches- trous ,on peut considérer
que le cercle test est celui en haut à gauche avec un corde verticale qui doit mesurer 0.4 et une  corde horizontale x  telle que 1-2x=6r.
L'équation donne r=0.121114562.

Une source bien informée me donne 0.12203686882
Encore un délit d'initié ...

Je devais avoir de tout petits manques justifiant mon 0.121..
Donc je te fais confiance.

Sage décision dpi de faire confiance.

Si utiliser un article de recherche public devient un délit d'initié, je pense que la vie de nombreux chercheurs va se compliquer
Mes sources s'appellent Kari J. Nurmela et Patric R. J. Östergård, je ne sais pas si GBZM a les mêmes.

Sans aller voir,on va essayer de trouver ...
Pour le moment on une belle " hyperbole" .
Je compte beaucoup sur ty59847