Niveau terminale

[Tale] Inéquation trigonométrique

Posté par
Nocachi 27-05-21 à 16:53

Bonjour à vous,
Je rencontre des difficultés à déterminer le sens de variation d'une fonction trigonométrique.

j'admet une fonction : $f(x)=\sqrt{3}sin(2x+\frac{\pi }{4})$

Premièrement on détermine sa dérivée :
$f'(x)=2\sqrt{3}cos(2x+\frac{\pi }{4})$

Déterminons ses variations sur $[0;\pi ]$ :
$2\sqrt{3}>0$
Donc
$cos(2x+\frac{\pi }{4})\geq 0$
Or
$0=cos(\frac{-\pi }{2})=cos(\frac{\pi }{2})$
Donc :
Soit $x=\frac{\pi }{8}+2\pi k$ ou $x=\frac{5\pi }{8}+2\pi k$

A partir de là, je ne sais pas déterminer lorsque le signe de la dérivée est positive ou négative.
Merci d'avance.

Posté par re : [Tale] Inéquation trigonométrique 27-05-21 à 17:13

Bonjour,

Vous dîtes :

Citation :
Déterminons ses variations sur $[0;\pi ]$ :
$2\sqrt{3}>0$
Donc
$cos(2x+\frac{\pi }{4})\geq 0$

Je ne vous suis plus à partir du donc...

Puisque $x \in [0;\pi]$ , pourquoi ne pas encadrer $2x+\dfrac{\pi}{4}$ et ensuite utiliser le cercle trigonométrique pour connaître le signe de $\cos(2x+\dfrac{\pi}{4})$ ?

Manu

Posté par re : [Tale] Inéquation trigonométrique 27-05-21 à 17:13

Bonjour,
En fait, l'équation cos(2x + /4) = 0 a pour solutions x = /8 + k/2 .
Il y a donc effectivement deux solutions /8 et 5/8 dans l'intervalle [0; ].
On peut en déduire le signe de la dérivée f '(x) dans cet intervalle.

Posté par re : [Tale] Inéquation trigonométrique 27-05-21 à 17:29

Citation :
pourquoi ne pas encadrer $2x+\frac{\pi }{4}$ et ensuite utiliser le cercle trigonométrique pour connaître le signe de $cos(2x+\frac{\pi }{4})$

En effet, j'ai mal rédigé. C'est encadrant $2x+\frac{\pi }{4}$ que j'ai réussi à trouver les solutions.

Citation :
On peut en déduire le signe de la dérivée f '(x) dans cet intervalle

.

C'est à partir d'ici que je bloque. Comment je dois procéder une fois que j'ai mes solutions afin de savoir si dans un certain intervalle f'(x) est positive ou négative.
Avec le cercle trigonométrique, je rencontre des difficultés lorsque les valeurs sont différentes des mesures de base.

Dans ce cas, [pi/8; 5pi/8] j'ai tendance à dire que la fonction est positive alors que c'est le contraire.
Comme faites-vous ?

Posté par re : [Tale] Inéquation trigonométrique 27-05-21 à 18:40

Entre deux passages par  0 , le cosinus garde le même signe.
Pour le connaître, il suffit de donner à  x   une valeur comprise entre les deux valeurs qui annulent le cosinus.
On peut ici choisir  x = /2 .

Posté par re : [Tale] Inéquation trigonométrique 27-05-21 à 21:57

Re,
j'aurais écrit ça tout simplement :

$0\leq x \leq \pi \Longleftrightarrow \dfrac{\pi}{4}\leq 2x+\dfrac{\pi}{4} \leq \dfrac{9\pi}{4}$

Donc le nombre dans ton cos parcourt tous les réels de l'intervalle $[\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{9\pi}{4}]$

Maintenant, pour le signe, avec le cercle trigonométrique, tu peux distinguer les cas suivants :

1er cas :

- Si $\dfrac{\pi}{4} \leq 2x+\dfrac{\pi}{4} \leq \dfrac{\pi}{2}$ , on a $\cos(2x+\dfrac{\pi}{4}) \geq 0$ .
Or $\dfrac{\pi}{4} \leq 2x+\dfrac{\pi}{4} \leq \dfrac{\pi}{2}\Longleftrightarrow 0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{8}$ donc $\boxed{\forall x \in \left[0;\dfrac{\pi}{8} \right], f'(x) \geq 0 }$

2e cas :

- - Si $\dfrac{\pi}{2} \leq 2x+\dfrac{\pi}{4} \leq \dfrac{3\pi}{2}$ , on a $\cos(2x+\dfrac{\pi}{4}) \leq 0$ .
Or .....

Tu essaies de finir ?

Manu

Posté par re : [Tale] Inéquation trigonométrique 27-05-21 à 22:19

Or $\frac{\pi }{2}\leq 2x+\frac{\pi }{4}\leq \frac{3\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{\pi}{8}\leq x\leq\frac{5\pi }{8}$

Donc pour $x$ appartenant à $[\frac{\pi }{8};\frac{5\pi }{8}]$ , $f'(x)\leq 0$

Posté par re : [Tale] Inéquation trigonométrique 27-05-21 à 22:22

Ok, il manque encore un 3e cas à traiter maintenant et tu auras fini

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

Fonctions trigonométriques en terminale
3 fiches de mathématiques sur "Fonctions trigonométriques" en terminale disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

[Tale] Inéquation trigonométrique

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths