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tangente
Salut
Soit n un entier naturel
Montrer que l'équation tan(x)=x admet une unique solution sur l'intervalle ]
/2+n;/2+(n+1)[.
On notera xn cette solution.
Montrer que la suite (xn) est une suite croissante tendant vers +
.
logiquement il faut que tan(x)-x=0 (noté f(x))
or tan(x)= sin(x)/cos(x)
d'où tan'(x)=1/(cos(x))²
d'où f'(x)=(1/(cos(x)²))-1=(tang(x))²
mais après pour l'unique solution et la suite je ne trouve pas.
merci d'avance.
>yoyo
vérifies ton énoncé : il n'apparaît pas de n dans la relation tan(x)=x...
Philoux
dsl j'avais pas regardé l'intervalle qui contient le n !
Philoux
f(x) = tan(x)-x
Df R-{pi/2+kpi}
pseudo périodique f(x+pi)=f(x)-pi
Etude sur -pi/2;+pi/2 et translation selon (+pi;-pi)
f'(x)=...=tan²(x) => f'>0 => f croissante de -oo à +oo
sur chaque intervalle de grandeur pi, la courbe coupera 1 fois l'axe des x
chaque valeur de xn se trouvant dans l'intervalle pi/2+npi ; pi/2+(n+1)pi => quand n->oo, xn -> pi/2+oo donc xn->+oo
Philoux
merci beaucoup 
Je continue ce que tu as fait.
f '(x) > 0 --> f(x) est croissante.
f(x) est continue dans ]Pi/2 + n.Pi ; Pi/2 + (n+1).Pi[
lim(x-> (Pi/2 + n.Pi)+) f(x) = -oo (limite à droite de (Pi/2 + n.Pi))
lim(x-> (Pi/2 + (n+1).Pi)-) f(x) = +oo (limite à gauche de (Pi/2 + (n+1).Pi))
Des 4 lignes qui précèdent, on conclut qu'il y a une et une seule solution à f(x) = 0 sur ]Pi/2 + n.Pi ; Pi/2 + (n+1).Pi[
Et donc: Il y a une et une seule solution à tan(x) - x = 0 sur ]Pi/2 + n.Pi ; Pi/2 + (n+1).Pi[
Et donc: Il y a une et une seule solution à tan(x) = x sur ]Pi/2 + n.Pi ; Pi/2 + (n+1).Pi[
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Sauf distraction. 
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