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Niveau maths sup
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Tangente à l hyperbole

Posté par Vinz (invité) 29-12-04 à 02:39

Bonjour, ceci est un éxercice sur les coniques.
Voila je dois prouver que la tangente à l'hyperbole est la bissectrice intérieure de langle (F'M F) où F et F' sont les foyers de l'hyperbole et M un point quelconque de coordonnées (x,y) par exemple qui appartient à l'hyperbole.
Je ne vois pas comment partir car comment caractériser une bissectrice géométriquement? (à moins qu'il ne faille directement travailler sur les angles, ce qui me parait plus pratique).
Merci davance pour vos pistes et suggestions =)

Posté par Vinz (invité)Re conique 29-12-04 à 02:41

PS : Bien entendu la tangente est au point M =)

Posté par Vinz (invité)SVP help ^^ 29-12-04 à 22:00

J'aimerais que vous vous penchiez, ne serait ce que quelques secondes, sur ce cas afin de pouvoir maider à trouver une piste...
En vous remerciant d'avance ^^

Posté par
franz
re : Tangente à l hyperbole 30-12-04 à 12:17

Il faut partir d'une des propriété bifocale de l'hyperbole.
M \in {\mathcal H }\; \; \Longleftrightarrow \; \;\|FM - F^'M\| = 2a

Prenons par exemple la branche telle que  FM - F^'M = 2a\;\;\
Considérons le paramétrage de cette branche d'hyperbole M \in {\mathcal H }_1 : \{ \array{x=a. ch \theta\\ y = b .sh \theta}

Soit \vec u = \frac 1 {|| \vec {FM}||}.\vec {FM}\; \; {\rm et} \; \;\vec {u^'} = \frac 1 {|| \vec{F'M}||}.\vec {F'M}


FM = || \vec {FM}|| = \sqrt{\vec{FM}.\vec{FM}}

 \frac {d {FM}} {d\theta} = \frac {\vec{FM}.\frac {d \vec{FM}}{d\theta} } {|| \vec {FM}|| } = \vec u . \frac {d \vec{FM}}{d\theta}

De même  \frac {d {F'M}} {d\theta} = \vec u' . \frac {d \vec{F'M}}{d\theta}

Donc
 \forall \theta \in {\mathbb R} \;\;\; 0 = \frac {d {FM-F'M}} {d\theta} = \( \vec u - \vec u'\) . \frac {d \vec{F'M}}{d\theta}

Or  \frac {d \vec{F'M}}{d\theta} est un vecteur directeur de la tangente à {\mathcal H } en M et \( \vec u - \vec u'\) est un vecteur directeur de la bissectrice extérieure de l'angle ({ \vec{FM},\vec{F'M}}).

On a donc le résultat.

Même chose pour l'autre branche.



Posté par Vinz (invité)Merci beaucoup 30-12-04 à 16:48

Merci davoir pris le temps de rédiger une réponse complète et construite =)

Je comprends le raisonement mais pour quelle raison - est un vecteur directeur de la bissectrice ?

Thx

Posté par Vinz (invité)Erreur 30-12-04 à 16:50

Oula hum quelques erreurs de frappe
Il sagit du vecteur - '

Posté par
JJa
re : Tangente à l hyperbole 30-12-04 à 17:07


( Démonstration géométrique )

Posté par
JJa
re : Tangente à l hyperbole 30-12-04 à 17:10

Désolé, la taille de la figure est trop grande et est refusée. Je vais essayer de la réduire.

Posté par
franz
re : Tangente à l hyperbole 30-12-04 à 17:11

 \vec u -et \vec u' sont des vecteurs normés
\large \cos(\vec u,\vec u-\vec u') = \frac 1 {||\vec u-\vec u'||}(\vec u^2-\vec u.\vec u') = \frac {1-\vec u.\vec u'} {||\vec u-\vec u'||} = -\cos (\vec u',\vec u-\vec u')

Posté par
JJa
re : Tangente à l hyperbole 30-12-04 à 17:13

Voici d'abord la figure :


Tangente à l hyperbole

Posté par
franz
re : Tangente à l hyperbole 30-12-04 à 17:15

Whaou !!! La classe !!!

Posté par
JJa
re : Tangente à l hyperbole 30-12-04 à 17:21

Voici ensuite le scan de la démonstration :


Tangente à l hyperbole

Posté par Vinz (invité)Yep Remerciements ! 31-12-04 à 17:17

O-o
Oula c'est magnifique la solidarité humaine : p
Merci beaucoup je tente et vais tenter de comprendre =)

Special thx to JJa and FranZ



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