y = e^x
y'= e^x

y(a) = e^a
y'(a) = e^a

Tangente à T au point d'abscisse a: y - e^a = (x - a).e^a
y = (e^a).x + (1-a).e^a
-----
y = ln(x)
y' = 1/x

y(b) = ln(b)
y'(b) = 1/b

Tangente à C au point d'abscisse b: y - ln(b) = (x - b)(1/b)
y = (1/b)x + ln(b) - 1
-----

Si les tangentes sont communes à T et C on doit avoir:
(e^a).x + (1-a).e^a = (1/b)x + ln(b) - 1
et ceci quel que soit x.

Il faut voir si c'est possible.

On a le système:

e^a = 1/b
(1-a).e^a = ln(b) - 1

(1-a)/b = ln(b) - 1
1-a = b.ln(b) - b

a = 1 + b - b.ln(b)

e^[1 + b - b.ln(b)] = 1/b

b * e^[1 + b - b.ln(b)] = 1 (avec b > 0)

On trouve b = 0,21365... et b = 4,6805 (fait graphiquement).

b = 0,21365 donne la tangente d'équation: y = 4,6805.x -2,5434...
b = 4,6805 donne la tangente d'équation: y = 0,21365x + 0,5434...
-----
C et T ont donc 2 tangentes communes, leurs équation sont:
y = 4,6805.x -2,5434...
et
y = 0,21365x + 0,5434...
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Sauf distraction.  

Merci J-P...explication claire et precise....

Bonjour shoulz,

Un moyen de vérifier est de constater que T et C, courbes de 2 fonctions inverses (f et f^-1) l'une de l'autre, seront symétriques par rapport à la 1ere bissectrice (D : y=x)

Donc les tgtes aussi => 2 propriétés :
- elles se coupent sur D (que tu peux vérifier)
- les angles de ces tgtes (théta = arctg(4,68) et théta'=arctg(0,21)) sont tels que (théta+théta')/2 = 45° (que tu peux vérifier)

Ce sont des questions complémentaires qui peuvent t'être posées avec des f et f^-1

Bon courage...

Phiiloux

Merci philoux pour cette precision...mais apres avoir refait l'explication de J-P je ne vois pas comment il trouve l'equation des 2 tangentes communes ci dessous:

C et T ont donc 2 tangentes communes, leurs équation sont:
y = 4,6805.x -2,5434...
et
y = 0,21365x + 0,5434...

JE VIENS DE COMPRENDRE MA DERNIERE QUESTION...