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tangente et parabole
Bonjour,
j'ai du mal à faire cet exercice, j'apprécierais si on pouvait m'aider ou me débloquer.
j'ai réalisé la figure 
PDF - 36 Ko. Et trouvé comme conjecture (2.): "on peut remarquer si on bouge le point A ou B, le point M reste toujours sur la parabole. Il appartient à la parabole P." mais je n'arrive pas à démontrer cette conjecture.
je n'ai pas réussi à faire la 4 et la 5 non plus, mais peut être en répondant à la question 3, je pourrais y répondre.
sujet:
soit f(x)= x² la fonction carré définie sur R. sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan (O;I;J) est la parabole P. soit A et B deux points quelconques de P. K est le milieu de [AB]. Ta et Tb sont les tangentes respectives à P aux points A et B; elles se coupent en un point H. On nomme M le milieu de [KH].
1. Réaliser la figure ( geogebra ou logiciel de géométrie dynamique)
2. que peut on conjecturer sur la position du point M ?
3. Démontrer cette conjecture.
4. En déduire une méthode pour tracer avec précision, à l'aide d'un compas et d'une règle, une tangente à P en un point quelconque de P.
5. puis tracer sur le logiciel, la tangente à P au point M. quelle nouvelle conjecture peut on faire ? Démontrer cette conjecture.
Merci.
Bonjour
Vous avez le droit de joindre une image, ce qui est préférable à un pdf.
exemple :
D'accord pour la conjoncture. Il y a une autre remarque que l'on pourrait faire. Que peut-on dire de (KH) ?
les équations des tangentes A ou B changent en fonction de l'emplacement des points A ou B, pareille pour le point d'intersection. Non ?
le point d'intersection a les mêmes coordonnées que le point K, mais ces coordonées changent en fonction d'où se trouve A et B sur P.
A est un point de P ses coordonnées sont donc
B est un point de P ses coordonnées sont donc
K est le milieu de [AB] ses coordonnées sont alors :
est la tangente en A à P, son équation est :
est la tangente en B à P, son équation est :
H est le point d'intersection de ces deux droites donc résolvons le système
Non, d'abord, vous n'écrivez pas une équation : est indispensable
Équation d'une tangente
en A on a et
d'où
OK je vois mon erreur,
j' ai obtenue ce que vous avez marqué mais je me suis trompé a la fin dans mon calcule. mais je ne comprend toujours pas en quoi savoir les équations des tangentes vont m'aider pour démontrer la conjecture.
À avoir les coordonnées de H et comme M est le milieu de [KH]
On va pouvoir montrer que les coordonnées de M vérifient l'équation de la parabole.
j'ai essayé de trouver les coordonnées de H.
j'ai trouvé : ( x ; y ) :
( (y+xA2*2xA)/ 2xA ; (2xB*y+2xB*xA2*2xA-xB2*2xA)/ 2xA )
À résoudre
ceci montre bien que K et H ont même abscisse.
À calculer, Puis les coordonnées du milieu de [KH]
Il doit n'y avoir ni ni
dans les coordonnées du point.
y= (2xA*xB)/2
coordonné de M : (ordonnée de H + ordonnée de k )/2
= ( (2xA*xB)/2 + (xA2+xB2)/2 )/2
= (2xA*xB+xA2+xB2)/4
= ( (xA+xB)/2 )2
Donc, le point M appartient à la parabole P car son ordonnée est le carré de son abscisse.
j'ai mis:
Pour tracer avec précision une tangente à P en passant par un point quelconque de P, il faut tracer une droite parallèle à l'axe des ordonnées en passant par le point quelconque de la parabole et un point sur l'axe des abscisses ( qu'on note E). puis tracer la symétrie de E avec le compas (qu'on note D) par rapport au point quelconque de la parabole. Il faut ensuite relier le centre du repère à D et tracer sa parallèle en passant par le point quelconque.
pour la dernière question j'ai trouvé comme conjecture : la tangente du point M reste parallèle à (AB) si on bouge le point A ou B. mais je ne vois pas comment le démontrer.
Soit A un point de P. On choisit un autre point de la parabole B.
On construit le milieu K de [AB] La parallèle à l'axe des ordonnées passant par K coupe la courbe en M. On construit le symétrique H de K par rapport à M. La droite (AH) est la tangente en A à P.
Oui, la tangente en M est parallèle à (AB)
salut
Pour tracer avec précision une tangente à P en passant par un point quelconque de P, il faut tracer une droite parallèle à l'axe des ordonnées en passant par le point quelconque de la parabole et un point sur l'axe des abscisses ( qu'on note E). OK
puis tracer la symétrie de E avec le compas (qu'on note D) par rapport au point quelconque de la parabole. Il faut ensuite relier le centre du repère à D et tracer sa parallèle en passant par le point quelconque. pas ok
soit M un point de la parabole P et on veut construire la tangente à P en M : le but est donc de construire maintenant les points A et B à la règle et au compas.
aide : les points H et K sont inutiles, ils ne servent qu'à faire la démonstration du résultat : la tangente en M et la droite (AB) sont parallèles.
la tangente en M et la droite (AB) sont parallèles.
On ne le montre qu'à la question suivante. On ne peut donc l'utiliser.
tu as raison dans une certaine mesure : si la question est de tracer une tangente quelconque à la parabole
mezalor ce que propose prinprin est tout faux et je ne suis pas tout à fait d'accord avec ce que tu proposes :
Soit A un point de P. On choisit un autre point de la parabole B.
On construit le milieu K de [AB] La parallèle à l'axe des ordonnées passant par K coupe la courbe en M. On construit le symétrique H de K par rapport à M. La droite (AH) est la tangente en A à P.
même si tu as raison vu la la suite de question
mais il me semble que le plus intéressant et riche est de tracer la tangente en M donné à priori.
Bonjour,
Rien n'empêche de choisir une corde particulière. (le point , inutile est là pour mémoire).
Quels sont les coefficients directeurs de (AB) et de la tangente en M à P ?
J'ai trouvé :
coefficient directeur de la tangente en M a P =
2( (xA+xB)/2) = xA+xB
coeff directeur de la droite (AB) = (xB2-xA2)/(xB-xA) = ( (xB-xA)(xB+xA) )/(xB-xA) = xB+xA = xA+xB
Donc comme les coefficients directeurs sont pareilles, (AB) est parallèle à la tangente en M de P.
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