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tangente et parabole

Posté par
prinprin
19-02-23 à 15:10

Bonjour,
j'ai du mal à faire cet exercice, j'apprécierais si on pouvait m'aider ou me débloquer.    
j'ai réalisé la figure pdf
PDF - 36 Ko
. Et trouvé comme conjecture (2.): "on peut remarquer si on bouge le point A ou B, le point M reste toujours sur la parabole. Il appartient à la parabole P." mais je n'arrive pas à démontrer cette conjecture.
je n'ai pas réussi à faire la 4 et la 5 non plus, mais peut être en répondant à la question 3, je pourrais y répondre.

sujet:
soit f(x)= x² la fonction carré définie sur R. sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan (O;I;J)  est la parabole P. soit A et B deux points quelconques de P. K est le milieu de [AB]. Ta  et Tb sont les tangentes respectives à P aux points A et B; elles se coupent en un point H. On nomme M le milieu de [KH].
1. Réaliser la figure ( geogebra ou logiciel de géométrie dynamique)
2. que peut on conjecturer sur la position du point M ?
3. Démontrer cette conjecture.
4. En déduire une méthode pour tracer avec précision, à l'aide d'un compas et d'une règle, une tangente à P en un point quelconque de P.
5. puis tracer sur le logiciel, la tangente à P au point M. quelle nouvelle conjecture peut on faire ? Démontrer cette conjecture.
Merci.

Posté par
hekla
re : tangente et parabole 19-02-23 à 15:28

Bonjour

Vous avez le droit de joindre une image, ce qui est préférable à un pdf.

exemple :tangente et parabole

D'accord pour la conjoncture. Il y a une autre remarque que l'on pourrait faire. Que peut-on dire de (KH) ?

Posté par
prinprin
re : tangente et parabole 19-02-23 à 15:34

[KH] est parallèle à l'axe des ordonnées.

Posté par
hekla
re : tangente et parabole 19-02-23 à 15:36

Oui, ce qui veut dire K et H ont même abscisse

Posté par
prinprin
re : tangente et parabole 19-02-23 à 15:41

mais je ne vois pas comment démonter cette conjecture.

Posté par
hekla
re : tangente et parabole 19-02-23 à 15:46

Comme d'habitude

Coordonnées de K.

Équations de T_A et T_B

Coordonnées du point d'intersection.

Posté par
prinprin
re : tangente et parabole 19-02-23 à 15:54

les équations des tangentes A ou B changent en fonction de l'emplacement des points A ou B, pareille pour le point d'intersection. Non ?

Posté par
prinprin
re : tangente et parabole 19-02-23 à 15:59

le point d'intersection a les mêmes coordonnées que le point K, mais ces coordonées changent en fonction d'où se trouve A et B sur P.

Posté par
prinprin
re : tangente et parabole 19-02-23 à 15:59

Pour les abscisses.

Posté par
hekla
re : tangente et parabole 19-02-23 à 16:10

A est un point de P ses coordonnées sont donc (x_A~;~x_A^2)

B est un point de P ses coordonnées sont donc (x_B~;~x_B^2)

K est le milieu de [AB] ses coordonnées sont alors :

 T_A est la tangente en A à P, son équation est :

 T_B est la tangente en B à P, son équation est :

H est le point d'intersection de ces deux droites donc résolvons le système

Posté par
prinprin
re : tangente et parabole 19-02-23 à 16:33

j'ai calculer l'equation de la tengente de A, ce qui me donne :  2xA*x-3xA2
et pour TB : 2xB*x-3xB2

Posté par
prinprin
re : tangente et parabole 19-02-23 à 16:37

l'equation de TA :
f'(xA)(x-xA)+f(xA)

l'equation de TB :
f'(xB)(x-xB)+f(xB)

Posté par
hekla
re : tangente et parabole 19-02-23 à 16:41

Non, d'abord, vous n'écrivez pas une équation : y= est indispensable

Équation d'une tangente  y=f'(a)(x-a)+f'a)

en A  on a f'(x_A)= 2x_A  et  f(x_A)=x_A^2 d'où

y=2x_A(x-x_A)+x_A^2=2x_Ax-x_A^2

Posté par
prinprin
re : tangente et parabole 19-02-23 à 16:50

OK  je vois mon erreur,
j' ai obtenue ce que vous avez marqué mais je me suis trompé a la fin dans mon calcule. mais je ne comprend toujours pas en quoi savoir les équations des tangentes vont m'aider pour démontrer la conjecture.

Posté par
hekla
re : tangente et parabole 19-02-23 à 16:59

À avoir les coordonnées de H et comme M est le milieu de [KH]

On va pouvoir montrer que les coordonnées de M vérifient l'équation de la parabole.

Posté par
prinprin
re : tangente et parabole 19-02-23 à 19:02

j'ai essayé de trouver les coordonnées de H.
j'ai trouvé :  ( x ; y ) :
(  (y+xA2*2xA)/ 2xA ; (2xB*y+2xB*xA2*2xA-xB2*2xA)/ 2xA  )

Posté par
hekla
re : tangente et parabole 19-02-23 à 19:16

À résoudre  \begin{cases}y=2x_Ax-x_A^2\\y=2x_Bx-x_B^2\end{cases}


2x_Bx-x_B^2=2x_Ax-x_A^2

2x_Bx-2x_Ax=x_B^2 -x_A^2

2x(x_B-x_A)=x_B^2-x_A^2

 x=\dfrac{x_A+x_B}{2} ceci montre bien que K et H ont même abscisse.

y=2x_A\left( \dfrac{x_A+x_B}{2}\right)-x_A^2

À calculer, Puis les coordonnées du milieu de [KH]


Il doit n'y avoir ni x ni y dans les coordonnées du point.

Posté par
prinprin
re : tangente et parabole 20-02-23 à 18:27

y= (2xA*xB)/2

coordonné de M :  (ordonnée de H + ordonnée de k )/2

= (  (2xA*xB)/2  + (xA2+xB2)/2  )/2

= (2xA*xB+xA2+xB2)/4

= ( (xA+xB)/2 )2

Donc, le point M appartient à la parabole P car son ordonnée est le carré de son abscisse.

Posté par
hekla
re : tangente et parabole 20-02-23 à 18:49

Exact, mais ce ne sont pas les coordonnées de M, uniquement l'ordonnée.

Posté par
prinprin
re : tangente et parabole 20-02-23 à 19:12

ok,

merci beaucoup de m'avoir aidé.

Posté par
hekla
re : tangente et parabole 20-02-23 à 19:15

Comment construisez-vous alors la tangente ?

Pas de problème pour la dernière question ?

De rien

Posté par
prinprin
re : tangente et parabole 20-02-23 à 20:59

j'ai mis:
Pour tracer avec précision une tangente  à P en passant par un point quelconque de P, il faut tracer une droite parallèle à l'axe des ordonnées en passant par le point quelconque de la parabole et un point sur l'axe des abscisses ( qu'on note E). puis tracer la symétrie de E  avec le compas  (qu'on note D) par rapport au point quelconque de la parabole. Il faut ensuite relier le centre du repère à D et tracer sa parallèle en passant par le point quelconque.  
  
pour la dernière question j'ai trouvé comme conjecture : la tangente du point M reste parallèle à (AB) si on bouge le point A ou B. mais je ne vois pas comment le démontrer.

Posté par
hekla
re : tangente et parabole 20-02-23 à 21:42

Soit A un point de P. On choisit un autre point de la parabole B.

On construit le milieu K de [AB] La parallèle à l'axe des ordonnées passant par K coupe la courbe en M.  On construit le symétrique H de K par rapport à M.  La droite (AH) est la tangente en A à P.

Oui, la tangente en M est parallèle à (AB)

Posté par
hekla
re : tangente et parabole 20-02-23 à 21:56

Quels sont les coefficients directeurs de (AB) et de la tangente en M à P ?

Posté par
carpediem
re : tangente et parabole 21-02-23 à 10:31

salut

prinprin @ 20-02-2023 à 20:59

Pour tracer avec précision une tangente  à P en passant par un point quelconque de P, il faut tracer une droite parallèle à l'axe des ordonnées en passant par le point quelconque de la parabole et un point sur l'axe des abscisses ( qu'on note E).   OK

puis tracer la symétrie de E  avec le compas  (qu'on note D) par rapport au point quelconque de la parabole. Il faut ensuite relier le centre du repère à D et tracer sa parallèle en passant par le point quelconque.    pas ok


soit M un point de la parabole P et on veut construire la tangente à P en M : le but est donc de construire maintenant les points A et B à la règle et au compas.

aide : les points H et K sont inutiles, ils ne servent qu'à faire la démonstration du résultat : la tangente en M et la droite (AB) sont parallèles.

Posté par
hekla
re : tangente et parabole 21-02-23 à 10:43

Citation :
la tangente en M et la droite (AB) sont parallèles.


On ne le montre qu'à la question suivante. On ne peut donc l'utiliser.

Posté par
carpediem
re : tangente et parabole 21-02-23 à 11:07

tu as raison dans une certaine mesure : si la question est de tracer une tangente quelconque à la parabole

mezalor ce que propose prinprin est tout faux et je ne suis pas tout à fait d'accord avec ce que tu proposes :

hekla @ 20-02-2023 à 21:42

Soit A un point de P. On choisit un autre point de la parabole B.

On construit le milieu K de [AB] La parallèle à l'axe des ordonnées passant par K coupe la courbe en M.  On construit le symétrique H de K par rapport à M.  La droite (AH) est la tangente en A à P.
certes on a bien la tangente en A et même en B mais bof d'un point de vu intellectuel

même si tu as raison vu la la suite de question

mais il me semble que le plus intéressant et riche est de tracer la tangente en M donné à priori.

Posté par
lake
re : tangente et parabole 21-02-23 à 14:38

Bonjour,

Rien n'empêche de choisir une corde particulière. (le point N , inutile est là pour mémoire).
tangente et parabole

Posté par
prinprin
re : tangente et parabole 21-02-23 à 18:15

hekla @ 20-02-2023 à 21:56

Quels sont les coefficients directeurs de (AB) et de la tangente en M à P ?

  
J'ai trouvé :

coefficient directeur de la tangente en M a P =
2( (xA+xB)/2) = xA+xB

coeff directeur de la droite (AB) = (xB2-xA2)/(xB-xA)  =  ( (xB-xA)(xB+xA) )/(xB-xA)   =   xB+xA  =  xA+xB


Donc comme les coefficients directeurs sont pareilles,  (AB) est parallèle à la tangente en M de P.

Posté par
hekla
re : tangente et parabole 21-02-23 à 18:19

Bien

Posté par
prinprin
re : tangente et parabole 21-02-23 à 18:19

Merci d'avoir pris le temps de m'aider.

Posté par
hekla
re : tangente et parabole 21-02-23 à 18:35

De rien

La construction de lake est bien plus rapide.



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