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Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle

Posté par
Astromyna
13-03-22 à 17:07

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour un exercice que j'ai à faire, s'il vous plaît.

Exercice, énoncé : Tangentes communes
On souhaite déterminer les tangentes communes aux courbes L et E d'équations respectives y=ln(x) et y=e^x.

1. Logiciel de géométrie
a. Avec un logiciel de géométrie dynamique, tracer les courbes L et E.
b. Placer un point A sur L, un point b sur E et tracer les tangentes en ces points.
c. Les deux tangentes peuvent-elles être confondues ? Si oui, donner les coordonnées des points A et B lorsque les tangentes sont confondues.

2. Démonstration
Soient a un réel strictement positif et b un réel. On note Ta la tangente au point d'abscisse a à la courbe L et Tb la tangente au point d'abscisse b à la courbe  E.
a. Déterminer une équation de chacune de ces tangentes.
b. Démontrer que les tangentes Ta et Tb sont confondues si et seulement si :
{a=1/e^b
{e^b=(-b-1)/(1-b)
c. Etudier les variations de la fonction f, définie sur ]-infini;1[U]1;+infini[ par : f(x)=e^x + (x+1)/(1-x)
d. En déduire que l'équation f(x)=0 admet une solution unique dans ]-infini;1[ et dans ]1;+infini[.
e. Donner alors une valeur approchée à 10^-3 près des réels a et b pour lesquels les tangentes sont confondues.

Mes réponses :
1.a. + b. J'ai utilisé Géogébra comme logiciel (celui donné par mon prof) et j'ai réussi à faire ce qui est demandé.

c. Par contre, je n'arrive pas à savoir quels coordonnées pour les points A et B tels que les tangentes sont confondues. J'ai ces coordonnées pour quand elles sont parallèles mais non confondues : A(1,0) et B(0,1).
(VOIR PJ)

2.a. Ta : y=(x-a)/a + ln(a) = x/a - 1 + ln(a)
         Tb : y=e^b(x-b+1)=xe^b + e^b(-b+1)

b. J'ai dit : Les tangentes Ta et Tb sont confondues si elles sont égales tels que leur coefficients directeurs et leur ordonnées à l'origine sont égaux. Donc j'ai déduit des deux équations des tangentes :
{1/a=e^b
{-1 +ln(a)=e^b(-b+1)
J'ai donc au final obtenu le système demandé.

c. J'ai calculé les limites de la fonctions (pour le tableau de variation que j'ai fait même si je ne pense pas qu'il soit obligatoire, je me trompe ?):
En + infini : +infini
En - infini : -1
En 1, x>1 : -infini
En 1, x<1 : +infini
J'ai fait la dérivée de f(x) et j'ai obtenu : f'(x)=e^x + 2/(1-x)^2
Signe de la dérivée : f'(x)>0 pour tout x de l'ensemble de définition.
Variations de f(x) : sur ]-infini;1[ f(x) est croissante et sur ]1;+infini[ f(x) est croissante.

d. J'ai utilisé le théorème des valeurs intermédiaires sur chaque ensemble séparément pour justifier.

e. Par contre, pour cette dernière question je ne sais pas comment m'y prendre pour trouver a et b. J'ai essayé un balayage à la calculatrice mais je ne vois pas comment obtenir les deux réels différents. Peut-être faut-il réutiliser les résultats précédents, dont le système ? Mais comment ?

Merci d'avance pour votre aide.

Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle

Posté par
carpediem
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 13-03-22 à 17:22

salut


il faut faire le lien entre le système et la fonction

ensuite on te demande une valeur approchée des solutions de l'équation f(x) = 0

Posté par
Astromyna
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 14-03-22 à 18:42

Si f(x)=0 alors e^x + (x+1)/(1-x) = 0 soit e^x=-(x+1/1-x)=-x-1/1-x
Donc ça correspond à la deuxième ligne du système : e^b=-b-1/1-b

Mais je ne comprends pas comment poursuivre.
Est-ce que je dois appliquer la fonction ln pour résoudre le système et trouver b puis a ? ou est-ce que je dois déterminer une valeur approchée de b par un balayage à la calculatrice (pour ensuite déterminer a grâce à cette valeur approchée) ?
Je suis assez perdue

Posté par
carpediem
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 14-03-22 à 18:46

on ne peut pas résoudre exactement cette équation !!!

on te demande d'utiliser le TVI pour justifier qu'il y a des solutions et on t'en demande ensuite des valeurs approchées ...

une fois que tu as b tu peux en déduire a puisque a = exp(-b) ...

Posté par
Astromyna
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 14-03-22 à 20:03

A la question 2.d. j'ai déjà justifié avec le TVI que f(x)=0 admet une solution unique dans ]-infini;1[ et dans ]1;+infini[. Est-ce que je dois faire un balayage à la calculatrice pour obtenir une valeur approchée de b ?

Posté par
carpediem
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 14-03-22 à 20:11

si tu veux ... mais la calculatrice donne directement les solutions de l'équation f(x)= 0 ... quand on sait s'en servir ....

Posté par
Astromyna
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 14-03-22 à 20:25

J'ai deux valeurs pour les deux intervalles :

- soit 1,544 par excès ou 1,543 par défaut
- soit -1,543 par excès ou -1,544 par défaut

Je dois choisir laquelle pour b ?

Posté par
Astromyna
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 14-03-22 à 20:32

(Ma prof demande à ce que je fasse par balayage à la calculatrice pour ne pas sortir un résultat par magie)

Posté par
carpediem
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 15-03-22 à 07:34

alors tu produits l'algorithme correspondant ... et suivant comment il est rédigé il donne soit la valeur par défaut soit la valeur par excès ...

à toi de nous montrer l'algo ...

Posté par
carpediem
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 15-03-22 à 07:34

ou à l'exécuter ... et tu verras quelle valeur il sort ...

Posté par
Astromyna
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 15-03-22 à 19:06

Pourquoi vous me parlez d'algorithme ? Ça ne fait pas partie de ma leçon... Je n'ai jamais fait ça comme ça

Posté par
carpediem
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 15-03-22 à 19:20

ben parce que

Astromyna @ 14-03-2022 à 20:32

Ma prof demande à ce que je fasse par balayage à la calculatrice pour ne pas sortir un résultat par magie

Posté par
Astromyna
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 15-03-22 à 19:43

Pour mes exercices on présente comme ça :

Par balayage à la calculatrice :

Limite quand x tend vers 1, de x>1 = -infini
f(2)=4,389
=>  1<b<2

f(1,5)=-0,518
f(1,6)=0,6196
=>  1,5<b<1,6

f(1,54)=-0,039
f(1,55)=0,0751
=>  1,54<b<1,55

f(1,543)=-4*10^-3
f(1,544)=6,8*10^-3
=>  1,543<b<1,544

Posté par
carpediem
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 15-03-22 à 19:52

je m'en doute bien ... mais ça c'est un travail de machine !!

et si je te demande à 10-9 tu vas le faire à la main ?

pour ma part soit j'utilise un algo qui me sort la solution à la précision voulue soit j'utilise directement les fonctions de la calculatrice qui me donnent directement le résultat ...

mais tu peux faire comme tu l'as fait ...

sauf qu'on ne comprend pas comment tu passes de 1 < b < 2 à 1,5 < b < 1,6 puis à 1,54 < b < 1,55 ...

ça c'est de la magie !!

Posté par
Astromyna
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 15-03-22 à 20:04

Je ne sais pas faire par cette méthode avec algorithme, il me semble que faire un balayage à la calculatrice est suffisant pour répondre à la question. Je dois poursuivre comment dans ce cas ?

Posté par
ty59847
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 15-03-22 à 23:31

Je ne connaissais pas l'expression : méthode par balayage à la calculatrice.
Mais ça semble être une méthode qu'on enseigne.
Si tu as appris cette méthode en cours, alors utilise-là.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 16-03-22 à 08:26

Bonjour à tous,
Oui, il s'agit sans doute d'utiliser des tables de valeurs de la fonction avec des pas de plus en plus petit.
C'est ce qu'on faisait au début des calculatrices graphiques.
C'est en fait assez rapide, même pour du 10-9

Je crois effectivement qu'il est préférable de respecter les consignes de son prof.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 16-03-22 à 10:23

Bonjour à tous,

je pense que carpediem attendait juste quelque précisions explicites :
...
on balaye les valeurs de x de 1+0,1 (car f(1) n'est pas défini) à 2 par pas de 0,1
f(1,5)=-0,518
f(1,6)=0,6196
=> 1,5 < b < 1,6
etc

et que cette méthode faite ainsi à la main (avec l'aide de la calculatrice, ou même d'un tableur, pour calculer les diverses valeurs testées) est suffisamment "mécanique" pour être décrite par un algorithme, qu'il soit exécuté manuellement comme ici ou entièrement automatiquement par la machine et un programme traduisant cet algorithme.
mais passons.

il faudra aussi chercher la valeur dans ]-oo; 1[ de la même façon puis conclure (on cherche les tangentes communes pas juste des solutions de f(x) = 0 qui en est le moyen, pas le but)

mais avec l'erreur faite question 1, on ne voit pas le rapport !
revenons sur la question 1 qui est mal traitée. (ce n'est pas ce qui est demandé)

Citation :
1.a. + b. J'ai utilisé Géogébra comme logiciel (celui donné par mon prof) et j'ai réussi à faire ce qui est demandé.
bein non car cela ne donne pas la réponse à la question 1c !!
Citation :
J'ai ces coordonnées pour quand elles sont parallèles mais non confondues : A(1,0) et B(0,1). (VOIR PJ)
on s'en fiche, ce n'est pas ce qu'on demande
il y a d'ailleurs une infinité de couples A, B pour lesquels les tangentes sont parallèles.

ce qui est mal fait dans la question 1a/1b c'est le choix de ces points A et B

il faut créer A variable sur (L) et B variable sur (E) (simples "point sur objet" ou avec un curseur ) et pas en choisir des valeurs, fussent elles arbitraires. et encore moins entières.
et les faire varier à la souris jusqu'à ce que la tangente en A soit aussi approximativement tangente quelque part à (E), et on amène B en ce point de contact approximatif
(facile vu que les points sont directement variables à la souris sur la courbe)
les deux tangentes étant alors approximativement confondues avec la droite AB
on lit alors (question 1c) les coordonnées (approximatives) de A et B
on observe alors question 1c qu'il y a bien deux solutions, aussi valables l'une que l'autre.

... et les abscisses devraient être une approximation des valeurs obtenues par calcul à la fin de l'exo !

avoir fait correctement la question 1c aide à terminer cet exo (rapport entre le but "tangente communes" et les calculs effectués)

c'est pour cela que je me suis permis d'intervenir.

Posté par
Astromyna
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 16-03-22 à 14:45

Merci pour toutes ces réponses, je vais donc utiliser le balayage à la calculatrice qui utilise le mode table de la calculatrice.
2.
J'avais aussi fait le balayage sur ]-infini;1[ et j'obtient :

f(-2)=-0,197
f(-1)=0,3678
=>-2<b<-1

f(-1,6)=-0,028
f(-1,5)=0,0231
=>-1,6<b<-1,5

f(-1,55)=-3*10^-3
f(-1,54)=1,7*10^-3
=>-1,55<b<-1,54

f(-1,544)=-3*10^-3
f(-1,543)=2,1*10^-4
=>-1,544<b<-1,543

Donc, on peut en conclure que b a deux valeurs possibles, grâce aux deux balayages. (par excès) Soit b=1,544 ou b=-1,543.
Ensuite on utilise le système pour déterminer les deux valeurs de a pour que les tangentes soient confondues.

Comme la deuxième ligne du système est équivalente à résoudre f(x)=0 alors on remplace b dans la première ligne :
a=1/e^b
Je remplace
a=1/e^1,544 environ =0,214 (par excès)
ou
a=1/e^-1,543 environ =4,679 (par excès)

1.
Pour la question 1.a+b j'ai mis en PJ ce que j'ai réussi à faire.
Est-ce que pour la question 1.c. j'ai le droit de donner des valeurs approchées pour les coordonnéees des points ? Si oui, j'aurais:

- Soit A(0,21;-1,54) et B(1,54;4,66)
- Soit A(4,69;1,54) et B(-1,53;0,22)

C'est correct ? Est-ce nécessaire de mettre à 10^-3 près ?

Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle

Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle

Posté par
mathafou Moderateur
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 16-03-22 à 15:14

OK

réussir à ajuster à la souris à 10-3 près est un peu utopique ...
dans la question 1c on ne connait pas les valeurs obtenues par calculs par la suite !
donc en gros ce qu'on obtient question 1c c'est du 10-2 et encore ...
(ajustement à l'oeil de la superposition des tangentes)

Posté par
Astromyna
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 16-03-22 à 15:21

D'accord, je comprends, merci beaucoup pour votre aide.
Je n'ai plus qu'à recopier au propre !

Posté par
carpediem
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 16-03-22 à 16:10

merci à mathafou qui a compris ce dont je parlais au sujet de la résolution d'une équation par balayage

une fois qu'on a compris la philosophie de cette résolution numérique on comprend alors très vite que c'est typiquement la situation à programmer :

balayage par pas de 1 jusqu'à ce que ...
puis balayage par pas de 0,1 jusqu'à ce que ...
puis balayage par pas de 0,01 jusqu'à ce que ...
...

il suffit alors de rentrer :
- un point de départ
- l'ordre de la précision voulue


ce qu'on peut faire effectivement à la main avec un tableau de valeurs ... mais le faire à la main c'est donc travailler comme une machine ...

je suis un humain et toute machine est mon esclave ...

je vais donc tricher intelligemment et forcer mon esclave à me donner directement "sa solution exacte" (solution approchée avec toute les décimales) ... puis j'arrondirai comme me le demande la consigne ...

je n'obéis jamais à un enseignant qui me fait travailler comme une machine (non pas que je n'ai pas parfois à travailler comme un bourrin parfois ... mais ce n'est jamais une fin en soi ... il y a toujours plus ensuite), j'ai toujours obéi à celui qui m'apportait la liberté (et la capacité) de penser


PS : ggb permet de produire exactement la situation étudiée ici : c'est à dire les points A et B tels que les tangentes en A et B soit toujours parallèles puisqu'on a les abscisses pour cette condition : elles vérifient \dfrac 1 a = e^b
on créer uniquement le point A et on construit le point B en fonction de A avec cette relation ...

j'ai voulu poster une image GIF animée pour montrer l'animation et le fait que les deux tangentes sont confondues par deux fois ...

malheureusement le fichier était trop lourd ... (il dépassait de peu les les 2 Mo autorisés) et je ne voulais pas que ce soit trop saccadé ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 16-03-22 à 16:22

j'ai mis sur Geogebra le script assurant le parallélisme (lien)

en fait j'ai construit A à partir de B et non l'inverse car il est plus précis de se déplacer sur la courbe E que sur la courbe L avec son asymptote verticale

(on peut définir A = (e^(-x(B)), -x(B)) en ligne de commande, mais j'en ai fait une traduction géométrique )

Posté par
carpediem
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 16-03-22 à 16:55

en fait j'ai fait la même chose : j'ai peut-être interverti les points mais mon A était aussi sur la courbe de l'exponentielle ... et j'obtiens la même chose que toi ...



que veux-tu dire par

mathafou @ 16-03-2022 à 16:22

on peut définir A = (e^(-x(B)),  -x(B)) en ligne de commande, mais j'en ai fait une traduction géométrique

Posté par
mathafou Moderateur
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 16-03-22 à 17:28

"... A sur L, un point b sur E..." dit l'énoncé

tu cliques sur "constr" dans l'applet et tu vois quelles lignes j'ai tracées pour obtenir (mon) A à partir de B ...

XB abscisse de B = b, XB' abscisse opposée -b, symétrique par rapport à O, B' point de E ayant cette abscisse
et A est le symétrique de B' par rapport à la 1ère bissectrice pour échanger les coordonnées et obtenir l'abscisse de A comme ordonnée de B'

même si le plus "efficace" est bien de définir A en ligne de commande par une formule plutôt que en traçant des lignes et des symétries.

Posté par
carpediem
re : Tangentes communes - Fonction logarithme et exponentielle 16-03-22 à 17:40

ha oui d'accord et merci

ouais tu t'es amusé !! (j'ai suivi ton fil sur le lieu de l'orthocentre)



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