Bonjour,
J'ai un DM à rendre pour mercredi :

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On note f et g les fonctions définies sur R par f(x)= exp x et g(x) = 1/(exp x)

On note A et B les points d'intersection des tangentes aux courbes représentatives de  f et de g aux points de même abscisse avec l'axe des abscisses.

Comment peut-on placer géométriquement ces points A et B ?
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Voici la figure sur Geogebra :
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malou > image rapatriée, merci d'en faire autant la prochaine fois

Conjecture :
On peut placer le point A à l'abscisse du point d'où est issu la tangente moins 1.
On peut placer le point B à l'abscisse du point d'où est issu la tangente plus 1.

Preuve :
Pour le prouver, je suppose qu'il faut exprimer les tangentes en utilisant l'expression des fonctions :
y = f'(a)(x-a) + f(a)

Pour la tangente à exp x :
y(1) = exp A(x-A) + exp A
    = x.exp A - A.exp A + exp A
    = exp A (x-A + 1)

Pour la tangente à 1/exp(x) :
y(2) = 1/exp A(x-A) + 1/exp A
    = exp -A(x-A) + exp -A
    = exp -A(x-A + 1)

Ensuite, j'ai résolu l'équation y = x

y(1) = x.exp A - A.exp A + exp A = x
Pour que l'égalité soit valable, il faut que : 1)  - A.exp A + exp A = 0
                                                                                               2)  exp A = 1
     donc, selon les propriétés de la fonction exponentielle, A = 0
y(2) = x.exp -A - A.exp -A + exp -A = x
De la même manière, A = 0

Est-ce que mon raisonnement est correct et comment conclure ?

Merci de votre aide.