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Tapis de Sierpinski
Bonjour j'ai fait un devoir maison et j'aimerais que vous m'aider si j'ai fait des erreurs merci !
Etape 1 : on partage le carré en 9 carrés identiques et on colore le carré central.
Etape 2 : les carrés restants sont à leur tour divisés en neuf carrés et on colore le carré central.
Et ainsi de suite...
PROBLEME : peut-on ainsi arriver a colorer tout le carré initial ?
1) On note An l'aire colorée à la n-eme étape. Trouver une relation entre An+1 et An.
REPONSE : La relation entre An+1 et An est :
An+1=An+1/9(1-An)
Essayons avec l'étape 1 : 1/9+1/9(1-1/9)=17/81.
17/81 représente bien l'aire colorée de l'étape 2.
2) Conjecturer la réponse au problème posé.
REPONSE : Oui je pense que l'on peut arriver a colorer tout le carré initial.
3) Déterminer la nature de la suite qui définit l'aire non colorée.
REPONSE : La nature de la suite qui définit l'aire non colorée se multiplie par 8 à chaque fois : 8/9→64/81→512/728.
4) En déduire l'expression de An en fonction de n.
REPONSE : L'expression de An en fonction de n est An=1-(8/9)^n
Voilà merci de m'aider a me corriger, je pense déja m'être trompé car An+1=An+1/9(1-An) (Q1) ne donne pas la même suite que l'aire non colorée qu'il faut multipliée par 8 (Q3)
Salut,
Il manque le début du texte : je suppose que le carré initial a pour côté 1 ?
Dans ce cas tout est correct ; mais il faut reprendre à partir de la question 3.
Appelle Bn par exemple cette aire non colorée ...
Salut Yzz, oups oui j'ai oublié le début, le carré est bien de côté 1.
D'accord je vais l'appeller Bn l'aire non colorée
ça donne : Bn=8/9 Bn+1=64/81 Bn+2=512/728, c'est bien ça ?
ça donne : Bn=8/9 Bn+1=64/81 Bn+2=512/728, c'est bien ça ?
On a en fait : Bn+1 = 8/9 * Bn , mais il faut le démontrer !
Je viens de comprendre ce que tu voulais dire : en fait , ça donne : B1=8/9 B2=64/81 B3=512/728 ...
Mais à démontrer, voir message précédent.
lis la question 3 et réponds-y précisément
Bn=8/9 Bn+1 oui
=64/81 Bn+2=512/728 ... n'importe quoi !
Yzz
la démonstration vient directement de l'énoncé non ? c'est même plus simple que pour la suite (A) puisqu'on colorie à chaque fois le neuvième de ce qui reste non coloré ...
Alexis33700
et B0 ?
Salut matheuxmatou
Bn=8/9 Bn+1 oui
ah ben oui mince ! j'avais lu les indices que je voulais voir
tu as raison !!!!
on reprend sérieusement Alexis33700 ...
je laisse Yzz (que je salue) continuer... là je vois plus clair !
Yzz
(ça me fait toujours marrer ces exos sur les fractals... l'aire colorée va tendre vers 1 ... mais on ne colorie pas tout le carré !... je me demande d'ailleurs ce que le prof attend comme réponse car la justification du fait que ce qui reste non coloré est un infini non dénombrable de mesure nulle est hors de portée en première)
Oui bien sûr, tu as raison...
Je suppose qu'il attend une réflexion du genre : "c'est paradoxal, par le calcul on "prouve" que lecarré entier sera noirci, alors qu'intuitivement on a l'impression de n'en colorer que le neuvième... " ou quelque chose du même genre, peut-être...
(il n'y a qu'au premier coup qu'on en colorie le neuvième... et en espérant qu'il ne conclue pas qu'on colorie tout le carré )
Bien sûr, mais attention : j'imaginais bien une réponse d'élève standard, hein, pas du prof !!!
Chez les miens, perso, cette année, je n'essaye même pas ce genre d'exo !
Je vois merci de l'aide Yzz et matheuxmatou alors ça fait
3) Appellons cette suite Bn, c'est une suite géométrique car on multiplie à chaque fois par Bn.
Essayons avec l'étape 1 : Bn+1=8/9*Bn alors Bn+1=8/9*8/9 = 64/81.
Nous pouvons continuer : 64/81*8/9 = 512/729.
C'est bien ça ?
3) Appellons cette suite Bn, c'est une suite géométrique car on multiplie à chaque fois par Bn.
Bn+1=8/9*Bn
cette fois oui ! avec les indices et il y a des outils pour ça avec les boutons sous la fenêtre de saisie !
et cela ne t'évoque rien ce type de suite ?
mais la suite est surréaliste
et B0 = ?
Oups,
On note Bn l'aire non colorée à la n-eme étape. C'est une suite géométrique car on multiplie à chaque fois par 8/9
Yzz, (Bn) est une suite géométrique, de premier terme 8/9 et de raison 8/9
Je ne suis pas sûr du terme
Le mieux est toujours de les nommer (B0 = ... et q = ...)
Par ailleurs, le premier terme de (Bn) correspond à la situation initiale : rien n'est coloré, et donc :
(Bn) est une suite géométrique, de premier termeB0 = 1 et de raison q = 8/9.
Re-Bonsoir j'ai une autre question, ma conjecture à la question 2 "Oui je pense que l'on peut arriver a colorer tout le carré initial." est-elle exacte ?
Merci
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