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Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques
Bonjour,
étant en classe de première spécialité maths, j'ai un DM où je suis confronté au tapis de Sierpinski.
Tapis de Sierpinski : On considère un carré dont l'aire est de 1 m². Pour construire la figure ci-dessous, on partage ce carré en 9 carrés égaux et on noircit celui du centre. On partage chacun des 8 carrés restants en 9 carrés égaux et on noircit les 8 carreaux au centre. On recommence cette construction à chaque étape. Pour tout entier naturel n >= 1, An désigne l'aire totale noircie lors de l'étape n. On a donc A1 = 1/9.
(a) Justifier que tout entier naturel n >= 1 on a An+1 = An + (1/9)(1-An).
Je n'ai aucune idée...
(b) A l'aide de la calculatrice conjecturer le sens de variation et la limite de la suite (An).
La suite semble être décroissante et sa limite semble être 1. Quelques valeurs pour l'illustrer :
Quand n=1 un=0,11
Quand n=6 un=0,5
Quand n=11 un=0,72
Quand n=16 un=0,84
Quand n=21 un=0,91
Puis on se rend compte que la suite n'atteint pas 1.
(c) On pose Bn = 1 - An. Démontrer que (Bn) est géométrique.
Une piste non aboutie :
Bn=1-An
Bn+1=1-An+1
=1-(An+1/9(1-An)
=1-An-1/9(1-An)
=-An+8/9(1-An)
(d) En déduire une expression de Bn pui de An en fonction de n.
Piste :
An+1=An+1/9(1-An)
An=An-1+1/9(1-An-1)
(e) A partir de combien d'étapes à-t-on noircit plus de 99% de la surface ?
Bonjour
À l'étape n vous avez pour aire coloriée A_n
À l'étape n+1 vous avez l'aire précédente plus 1/9 de l'aire qui reste à colorier
b) Toujours travailler en valeurs exactes
On peut supposer que la suite est croissante
Quel est le signe de ?
Démontrer que (Bn) est géométrique.
B_n=1-A_n
B_{n+1}=1-A_{n+1}
Jusque-là pas de problème
N'y a-t-il pas une factorisation possible ?
Quelle conclusion ?
d) comment écrit-on le terme général d'une suite géométrique ?
Merci déjà énormément !
J'imagine que pour (An) c'est :
An+1 = An+1/9(1-An)
An = A0+1/9(1-A0)n ?
Et pour Bn je n'y arrive pas car nous avons juste vu comment les transformer pour par exemple :
un+1 = un*2
un = u0*2n
Mais ici j'ai deux termes, 1-An et 1+1/9.
Alors devrais-je faire :
Bn = (1-A0)(1+1/9)n ?
Merci d'avance !
on met en facteur
or donc
est une suite géométrique de raison
et de premier terme
Le terme général d'une suite géométrique de premier terme et de raison
est
Donc on a Bn+1 = Bn*10/9
soit Bn = B0*(10/)n
Mais B0 serait donc 1-A1, donc 1-1/9
on aurait donc Bn = 8/9*(10)n ?
Pourquoi ce changement d'indice ?
Il faudrait faire un peu plus attention
est une suite géométrique de raison
et de premier terme
Oulà oui, j'ai pas fait attention !
Je m'excuse sincèrement, tout cela est nouveau, c'est la première fois qu'on a un exercice du genre 
Mais donc ça nous fait arriver à
Bn = (10/9)n, merci.
Pour An, j'ai donc :
An+1 = An + 1/9(1-An)
An = A0 + [1/9(1-A0)]n
An = 0 + [1/9(1-0)]n
An = (1/9)n
Est-ce correct pour les deux ?
D'accord
on peut vérifier A_0=1-1=0
par conséquent il y a une erreur
10: 56 un signe s'est transformé en un signe
on met en facteur
or donc
est une suite géométrique de raison
et de premier terme
On contrôle
correct
correct aussi
maintenant Python ou tableur
Argh, décidément, je suis vraiment trop nul...
Je vous remercie énormément pour toute votre aide !
Avec le tableur je trouve : An vaut environ 0,991, lorsque que n vaut 40. Donc on aura noirci plus de 99% du carré en 40 étapes.
Oui 40
J'ai fait l'erreur d'inattention
Une remarque il est toujours intéressant de vérifier ses réponses
De rien
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