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Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques

Posté par
Kalinyx
09-10-21 à 09:58

Bonjour,
étant en classe de première spécialité maths, j'ai un DM où je suis confronté au tapis de Sierpinski.

Tapis de Sierpinski : On considère un carré dont l'aire est de 1 m². Pour construire la figure ci-dessous, on partage ce carré en 9 carrés égaux et on noircit celui du centre. On partage chacun des 8 carrés restants en 9 carrés égaux et on noircit les 8 carreaux au centre. On recommence cette construction à chaque étape. Pour tout entier naturel n >= 1, An désigne l'aire totale noircie lors de l'étape n. On a donc A1 = 1/9.

(a) Justifier que tout entier naturel n >= 1 on a An+1 = An + (1/9)(1-An).

Je n'ai aucune idée...

(b) A l'aide de la calculatrice conjecturer le sens de variation et la limite de la suite (An).
La suite semble être décroissante et sa limite semble être 1. Quelques valeurs pour l'illustrer :
Quand
n=1 un=0,11
Quand
n=6 un=0,5
Quand
n=11 un=0,72
Quand
n=16 un=0,84
Quand
n=21 un=0,91
Puis on se rend compte que la suite n'atteint pas 1.


(c) On pose Bn = 1 - An. Démontrer que (Bn) est géométrique.
Une piste non aboutie :
Bn=1-An
Bn+1=1-An+1
=1-(An+1/9(1-An)
=1-An-1/9(1-An)
=-An+8/9(1-An)

(d) En déduire une expression de Bn pui de An en fonction de n.
Piste :
An+1=An+1/9(1-An)
An=An-1+1/9(1-An-1)


(e) A partir de combien d'étapes à-t-on noircit plus de 99% de la surface ?

Posté par
hekla
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 10:40

Bonjour

À l'étape n vous avez pour aire coloriée A_n
À l'étape n+1 vous avez l'aire précédente plus 1/9 de l'aire qui reste à colorier
A_{n+1}=A_n+\dfrac{1}{9}(1-A_n)

b) Toujours travailler en valeurs exactes

A_0=0\ A_1=0+\dfrac{1}{9}(1-0)=\dfrac{1}{9}\approx 0,11\quad A_2=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}\times \dfrac{8}{9}=\dfrac{17}{81}\approx 0,21

On peut supposer que la suite est croissante

Quel est le signe de  A_{n+1}-A_n ?

Posté par
hekla
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 10:56

Démontrer que (Bn) est géométrique.

B_n=1-A_n

B_{n+1}=1-A_{n+1}

B_{n+1}=1-\left(A_n+\dfrac{1}{9}(1-A_n)\right)

B_{n+1}=1-A_n-\dfrac{1}{9}(1-A_n) Jusque-là pas de problème

B_{n+1}=\left(1- A_n\right)+\dfrac{1}{9}\left(1-A_n\right)

N'y a-t-il pas une factorisation possible ?

Quelle conclusion ?


d) comment écrit-on le terme général d'une suite géométrique ?

Posté par
Kalinyx
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 11:30

Merci déjà énormément !
J'imagine que pour (An) c'est :
An+1 = An+1/9(1-An)
An = A0+1/9(1-A0)n ?


Et pour Bn je n'y arrive pas car nous avons juste vu comment les transformer pour par exemple :
un+1 = un*2
un = u0*2n

Mais ici j'ai deux termes, 1-An et 1+1/9.
Alors devrais-je faire :
Bn = (1-A0)(1+1/9)n ?

Merci d'avance !

Posté par
hekla
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 11:38

B_{n+1}=\left(1- A_n\right)+\dfrac{1}{9}\left(1-A_n\right)

on met 1-A_n en  facteur

B_{n+1}=\left(1- A_n\right)\left(1+\dfrac{1}{9}\right)

or 1-A_n=B_n donc B_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{9}\right)B_n

 \left(B_n\right) est une suite géométrique de raison  \dots et de premier terme  \dots
Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme u_0 et de raison q est u_n=u_0\times (q)^n.

Posté par
hekla
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 11:39

Il est bien entendu qu'il faut simplifier 1+\dfrac{1}{9}

Posté par
Kalinyx
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 11:42

Mais on ne connait pas B0

Posté par
Kalinyx
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 11:46

Donc on a Bn+1 = Bn*10/9
soit Bn = B0*(10/)n
Mais B0 serait donc 1-A1, donc 1-1/9
on aurait donc Bn = 8/9*(10)n ?

Posté par
hekla
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 11:53

Pourquoi ce changement d'indice ?

 B_0=1-A_0=1-0=1

Il faudrait faire un peu plus attention

 B_{n+1}=\dfrac{10}{9}B_n

 \left(B_n\right) est une suite géométrique de raison  \dfrac{10}{9} et de premier terme  1

B_n=1\times \left(\dfrac{10}{9}\right)^n

Posté par
Kalinyx
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 12:00

Oulà oui, j'ai pas fait attention !
Je m'excuse sincèrement, tout cela est nouveau, c'est la première fois qu'on a un exercice du genre

Mais donc ça nous fait arriver à
Bn = (10/9)n, merci.

Pour An, j'ai donc :
An+1 = An + 1/9(1-An)
An = A0 + [1/9(1-A0)]n
An = 0 + [1/9(1-0)]n
An = (1/9)n

Est-ce correct pour les deux ?

Posté par
Kalinyx
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 12:02

Mauvaise manip, je veux évidemment écrire
An = A0 + ...
J'ai confondu sub et sup

Posté par
hekla
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 12:10

B_n=1-A_n \iff A_n=\dots

Posté par
Kalinyx
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 12:15

Ah, oui...
Bn = 1 - An
- An = Bn - 1
An = 1 - Bn !

Là, je suis certain que c'est bon !

Posté par
Kalinyx
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 12:20

Je viens de me rendre compte qu'il me manque la dernière partie,
An = 1-(10/9)n

Posté par
hekla
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 12:40

D'accord

on peut vérifier A_0=1-1=0

A_1=1-\dfrac{10}{9}=-\dfrac{1}{9} par conséquent il y a une erreur

10: 56 un signe - s'est transformé en un signe +

B_{n+1}=\left(1- A_n\right)-\dfrac{1}{9}\left(1-A_n\right)

on met 1-A_n en  facteur

B_{n+1}=\left(1- A_n\right)\left(1-\dfrac{1}{9}\right)

or 1-A_n=B_n donc B_{n+1}=\left(1-\dfrac{1}{9}\right)B_n

 \left(B_n\right) est une suite géométrique de raison  \dfrac{8}{9} et de premier terme  1

B_n=1\times \left(\dfrac{8}{9}\right)^n


A_n=1-\left(\dfrac{8}{9}\right)^n On contrôle  A_1=1-\dfrac{8}{9}=\dfrac{1}{9}

correct

A_2=1- \dfrac{64}{81}=\dfrac{17}{81} correct aussi


maintenant Python ou tableur

Posté par
Kalinyx
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 12:56

Argh, décidément, je suis vraiment trop nul...
Je vous remercie énormément pour toute votre aide !
Avec le tableur je trouve : An vaut environ 0,991, lorsque que n vaut 40. Donc on aura noirci plus de 99% du carré en 40 étapes.

Posté par
hekla
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 13:05

Oui 40

J'ai fait l'erreur d'inattention
Une remarque  il est toujours intéressant de vérifier ses réponses

De rien

Posté par
Kalinyx
re : Tapis de Sierpinski et autres suites géométriques 09-10-21 à 13:10

Il n'y a pas de soucis ! J'ai fait tellement d'erreur, moi ! Sans vous, j'étais fichu, merci infiniment d'avoir eu la patience et le courage de m'aider !
Au revoir



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