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Niveau première
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taux de variations

Posté par
saraassk
22-02-23 à 14:22

Bonjour voici l'énoncé de mon exercice:

1. Donner l'expression du taux de variation d'une fonction v(x) entre a et (a+h)                    v(a+h) - v(a) / h

2. Montrer que le taux de variation de 1/v(x) entre a et (a+h) est égal à: -( v(a+h) - v(a) ) /  h v(a+h) v(a)

3. En déduire l'expression du nombre dérivée en a de la fonction 1/v(x)

4. En utilisant l'égalité (u/v)' (a) = u'(a) v(a) - u(a) v'(a) / v^2(a)

En bleu mes réponses.

A partir de la question 2 le 1/v(x) me pose problème, je ne sais pas s'il faut que je remplace dans la formule " v(a+h)" par 1/v(a+h) et de même pour v(a) ou non car même si je le fais je n'obtiens pas ce qui est demandé. Aussi pour la question 4 cela me parait logique d'utiliser le théorème de la dérivée d'un quotient plutôt que d'utiliser celui du produit.

Posté par
saraassk
re : taux de variations 22-02-23 à 14:24

Mince je n'ai pas copié la question 4 en entier.

Voici la suite:
4. [...] et le théorème de la dérivée d'un produit montrer que :  
(u/v)' (a) =  u'(a)v(a) - u(a)v'(a) / v^2(a).

Posté par
hekla
re : taux de variations 22-02-23 à 14:35

Bonjour

Les parenthèses sont obligatoires  

\dfrac{v(a+h)-v(h)}{h}   ou (v(a+h)-v(a))/h

C'est bien la définition d'une fonction   f(x)=\dfrac{1}{v(x)}

donc  f(a+h)=\dfrac{1}{v(a+h)}

Posté par
saraassk
re : taux de variations 22-02-23 à 15:46

D'accord donc pour la 2 je fais bien ( 1/v(a+h) - 1/v(a) ) / h mais dans l'énoncé il est dit que l'on doit montrer que c'est  -v(a+h) - v(a) / h v(a+h) v(a)

Posté par
hekla
re : taux de variations 22-02-23 à 15:48

\dfrac{\dfrac{1}{v(a+h)}-\dfrac{1}{v(a)}}{h}

maintenant un peu d'exercices sur les fractions.

Posté par
saraassk
re : taux de variations 22-02-23 à 16:54

Comment faites vous pour mettre la barre des fractions ?  C'est plus pratique que d'écrire avec /

Posté par
saraassk
re : taux de variations 22-02-23 à 17:00

Sinon je vois bien que l'on peut appliquer la règle de multiplier par l'inverse donc au lieu de diviser par h on multiplierai par 1/h et on obtiendrai donc 1/v(a+h) - 1/v(a)h

Posté par
hekla
re : taux de variations 22-02-23 à 17:18

J'écris les maths avec \LaTeX

Vous pouvez essayer en cliquant sur LTX avec un point rouge, c'est une aide pour écrire avec

On va commencer par mettre le numérateur au même dénominateur

\dfrac{1}{v(a+h)}-\dfrac{1}{v(a)}= \dfrac{v(a)-v(a+h)}{v(a)v(a+h)}

\dfrac{\dfrac{1}{v(a+h)}-\dfrac{1}{v(a)}}{h}=\dfrac{ \dfrac{v(a)-v(a+h)}{v(a)v(a+h)}}{h}


Je vous laisse terminer, multiplier la fraction par  \dfrac{1}{h}

Posté par
saraassk
re : taux de variations 22-02-23 à 17:29

Ah d'accord merci beaucoup
En multipliant par \frac{1}{h} on obtient donc \frac{v(a+h) - v(a)}{v(a) v(a+h)h} mais il manque le signe - non ? Au début de la fraction comme indiquer dans l'énoncé

Posté par
hekla
re : taux de variations 22-02-23 à 17:33

Mettez -1 en facteur dans le numérateur si vous tenez à la même écriture

-(a-b)=-a+b   c'est bien ce que l'on a.

Posté par
hekla
re : taux de variations 22-02-23 à 17:35

Pourquoi vous avez changé les signes, on obtenait   v(a)-v(a+h)

Posté par
saraassk
re : taux de variations 22-02-23 à 18:07

hekla @ 22-02-2023 à 17:35

Pourquoi vous avez changé les signes, on obtenait   v(a)-v(a+h)


Je n'ai pas compris de où vous parlez ?

Posté par
hekla
re : taux de variations 22-02-23 à 18:15

  vous avez écrit

\dfrac{v(a+h) - v(a)}{v(a) v(a+h)h}  or  on doit avoir

  \dfrac{v(a) - v(a+h)}{v(a) v(a+h)h}

Posté par
hekla
re : taux de variations 22-02-23 à 18:18

Pour la suite, il vaut mieux prendre la forme

\dfrac{-\left(v(a+h) - v(a)\right)}{v(a) v(a+h)h}

Posté par
saraassk
re : taux de variations 22-02-23 à 19:24

hekla @ 22-02-2023 à 18:18

Pour la suite, il vaut mieux prendre la forme

\dfrac{-\left(v(a+h) - v(a)\right)}{v(a) v(a+h)h}


Je ne comprends pas cette partie...
A l'issue de notre multiplication par \frac{1}{h} on obtient bien \frac{v(a) - (v(a+h)}{v(a+h) v(a)h} je ne comprends pas comment on passe de la forme \frac{v(a) - v(a+h)}{v(a+h) v(a)h} à -\frac{( (v(a+h) -v(a) )}{ v(a) v(a+h)h} et je ne comprends pas non ^plus l'utilité des parenthèses.
Je me doute que ce n'est pas si compliqué à comprendre mais je n'y arrive pas si vous pourriez m'éclairer

Posté par
hekla
re : taux de variations 22-02-23 à 19:47

Après réduction au même dénominateur et multiplication par \dfrac{1}{h} on a bien obtenu cela

\dfrac{v(a) - v(a+h)}{v(a) v(a+h)h}
  On a aussi

\dfrac{-v(a+h) + v(a)}{v(a) v(a+h)h}  commutativité

Si on décide de ne pas mettre de signe - au début,  on va mettre alors -1 en facteur, ce qui revient à changer les signes.

En effet -b+a=-(b-a)

on a donc alors  \dfrac{-\bigg(v(a+h) - v(a)\bigg)}{v(a) v(a+h)h}  Là, les parenthèses sont indispensables  - se rapporte aux deux

\dfrac{-a}{b}=-\dfrac{a}{b}

On se sert de cela pour mettre le signe - devant la fraction, on a alors - \dfrac{v(a+h) - v(a)}{v(a) v(a+h)h}

Les parenthèses au numérateur ne servent à rien, un signe - devant un trait de fraction est identique à mettre des parenthèses au numérateur. Cela ferait alors double emploi.
il vaut mieux en mettre  trop que pas assez jusqu'à un certain point, cependant, car après cela devient vite illisible

Posté par
saraassk
re : taux de variations 22-02-23 à 20:30

D'accord j'y vois beaucoup plus clair maintenant merci.
Le seul point où je ne suis pas sûre de comprendre c'est si l'on a la possibilité choisir entre appliquer la commutativité ou mettre -1 en facteur ou bien la commutativité et une étape intermédiaire afin de pouvoir mettre -1 en facteur.

Posté par
hekla
re : taux de variations 22-02-23 à 20:40

J'ai essayé de détailler au maximum, c'est-à-dire un seul changement à la fois, en général, on le fait ensemble sans y penser.

Posté par
saraassk
re : taux de variations 22-02-23 à 20:57

D'accord merci beaucoup pour votre aide vraiment !

Posté par
hekla
re : taux de variations 22-02-23 à 21:02

Il va falloir faire encore un changement d'écriture pour apercevoir ce que l'on veut montrer

Quelle est la dérivée de v ?

Posté par
saraassk
re : taux de variations 23-02-23 à 09:07

Je pensais que nous avions fini la question deux quel changement manque t-il ?
A part l'ordre des lettres au dénominateur je ne vois rien

Je ne comprends pas ce que vous dites par la dérivée de v vous parler de la dérivée de 1/v(x) ?

Posté par
hekla
re : taux de variations 23-02-23 à 09:30

Oui, on a bien montré que le taux de variation était bien  -\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}. Avec cela la question 2 était résolu.

J'anticipais un peu sur la question 3

Je suis bien d'accord qu'il s'agit de la dérivée de x\mapsto \dfrac{1}{v(x)}, il serait étonnant que la dérivée de la fonction v n'intervienne pas d'où ma question.

Posté par
carpediem
re : taux de variations 23-02-23 à 09:35

salut

je suivais de loin ...

pour donner un peu de sens à ton exo :

tu sais déterminer le nombre dérivé et la dérivée d'une fonction à partir du taux de variation

ici l'objectif du pb est de te faire déterminer la dérivée de l'inverse d'une fonction (toujours avec le taux de variation) donc d'une fonction f s'écrivant f(x) = 1/v(x)

donc on te demande de calculer le taux de variation de f en a : [f(a + h) - f(a)]/h ...

mais une fois ce taux de variation déterminé n'oublie qu'il reste encore une chose à faire avant de conclure (et cela utilise le taux de variation de la fonction v)
(relire ton cours ou des exo)


PS : la question 4/ n'est pas claire ...

Posté par
saraassk
re : taux de variations 23-02-23 à 09:35

Ah oui d'accord
Pour la dérivée de v c'est la réponse à la question 1 non ?
Donc \frac{(v(a+h) - v(a))}{h}

Posté par
hekla
re : taux de variations 23-02-23 à 09:46

Oui

Donc dans le taux de variation, il va falloir transformer un peu l'écriture pour faire apparaître \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}

Posté par
saraassk
re : taux de variations 23-02-23 à 10:10

Ah d'accord et ensuite pour avoir 1/v(x) on fait donc 1/ \frac{v(a+h) - v(a)}{h}  c'est ça ?

Posté par
hekla
re : taux de variations 23-02-23 à 10:21

Non, car ce ne sont pas des expressions égales

on sait que  \dfrac{a}{bc}=\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c}

C'est plutôt avec cela que l'on va transformer

Posté par
saraassk
re : taux de variations 23-02-23 à 11:37

Ah donc l'on fait \frac{1}{v(a+h)-v(a)h}

Posté par
hekla
re : taux de variations 23-02-23 à 12:03

 \dfrac{v(a+h) - v(a)}{v(a) v(a+h)h}

C'est de la forme  \dfrac{A}{BC} avec A= v(a+h)-v(a)\qquad B=h\qquad C=v(a+h)v(a)

On peut alors écrire \dfrac{\left(\dfrac{A}{B}\right)}{C}

d'où - \dfrac{v(a+h) - v(a)}{v(a) v(a+h)h}=-\dfrac{\left(\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}\right)}{v(a+h)v(a)}

Posté par
hekla
re : taux de variations 23-02-23 à 16:13

La question 4 est claire

4. En utilisant l'égalité et le théorème de la dérivée d'un produit, montrer que : (u/v)' (a) = u'(a) v(a) - u(a) v'(a) / v^2(a)

Posté par
saraassk
re : taux de variations 23-02-23 à 19:15

hekla @ 23-02-2023 à 12:03

 \dfrac{v(a+h) - v(a)}{v(a) v(a+h)h}

C'est de la forme  \dfrac{A}{BC} avec A= v(a+h)-v(a)\qquad B=h\qquad C=v(a+h)v(a)

On peut alors écrire \dfrac{\left(\dfrac{A}{B}\right)}{C}

d'où - \dfrac{v(a+h) - v(a)}{v(a) v(a+h)h}=-\dfrac{\left(\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}\right)}{v(a+h)v(a)}


Donc je dois m'aider de ça pour trouver la dérivée de 1/v(x) ?

Posté par
saraassk
re : taux de variations 23-02-23 à 19:18

si on dérive 1 c'est égal à 0 donc la dérivée de 1/v(x) = à la dérivée de v(x) seulement c'est ça ?

Posté par
saraassk
re : taux de variations 23-02-23 à 19:22

hekla @ 23-02-2023 à 16:13

La question 4 est claire

4. En utilisant l'égalité et le théorème de la dérivée d'un produit, montrer que : (u/v)' (a) = u'(a) v(a) - u(a) v'(a) / v^2(a)


je ne comprends pas car on nous dit d'utiliser le théorème de la dérivée d'un produit mais on nous demande de montrer avec le théoreme de la dérivée d'un quotient car la dérivée d'un quotient est égale à (\frac{u}{v})' (x)
\frac{u'(x) v(x) -u(x) v'(x)}{v^{2}(x)}

Posté par
hekla
re : taux de variations 23-02-23 à 19:42

Terminons d'abord la dérivée de \dfrac{1}{v}

que se passe-t-il lorsque h tend vers 0 ?

v(a+h) va tendre vers  v(a)  le numérateur  de la fraction établie à 12 :03 \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}  va tendre vers  

Par conséquent, la dérivée de \dfrac{1}{v} est

réponse 19 :15 oui  c'est aussi ce que je précise au-dessus

19:  18 Non,  une preuve vous est apportée à la question 4


Question 4  \dfrac{u}{v}=u\times  \dfrac{1}{v}

vous connaissez la dérivée d'un produit et la dérivée de \dfrac{1}{v}  celle que l'on vient d'établir

avec ces renseignements, on vous demande de démonter la dérivée de \dfrac{u}{v}

On vous donne le résultat  ou si vous préférez c'est à cette expression que vous devez aboutir

Posté par
hekla
re : taux de variations 23-02-23 à 19:45

Une petite remarque  : bien pour l'utilisation de \LaTeX  mais les fractions sont un peu petites
au lieu de \frac il vaut mieux utiliser \dfrac.

Posté par
saraassk
re : taux de variations 23-02-23 à 20:35

hekla @ 23-02-2023 à 19:42

Terminons d'abord la dérivée de \dfrac{1}{v}

que se passe-t-il lorsque h tend vers 0 ?

v(a+h) va tendre vers  v(a)  le numérateur  de la fraction établie à 12 :03 \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}  va tendre vers  

Par conséquent, la dérivée de \dfrac{1}{v} est

réponse 19 :15 oui  c'est aussi ce que je précise au-dessus

19:  18 Non,  une preuve vous est apportée à la question 4


Question 4  \dfrac{u}{v}=u\times  \dfrac{1}{v}

vous connaissez la dérivée d'un produit et la dérivée de \dfrac{1}{v}  celle que l'on vient d'établir

avec ces renseignements, on vous demande de démonter la dérivée de \dfrac{u}{v}

On vous donne le résultat  ou si vous préférez c'est à cette expression que vous devez aboutir


Le numérateur de la fractions faites à 12:03 va tendre vers v(a)v(a) donc v(a)2 c'est ça ?

Et d'accord merci pour le conseil

Posté par
saraassk
re : taux de variations 23-02-23 à 20:39

En fait je n'ai pas compris car vous avez dit la fraction faites à 12:03 donc \dfrac{\frac{(v(a+h)-v(a))}{h}}{v(a+h)v(a)}
Mais vous avez écrit \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}
si vous parlez de la seconde  le numérateur tend vers 0 car v(a)-v(a)

Posté par
saraassk
re : taux de variations 23-02-23 à 20:40

saraassk @ 23-02-2023 à 20:35

hekla @ 23-02-2023 à 19:42

Terminons d'abord la dérivée de \dfrac{1}{v}

que se passe-t-il lorsque h tend vers 0 ?

v(a+h) va tendre vers  v(a)  le numérateur  de la fraction établie à 12 :03 \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}  va tendre vers  

Par conséquent, la dérivée de \dfrac{1}{v} est

réponse 19 :15 oui  c'est aussi ce que je précise au-dessus

19:  18 Non,  une preuve vous est apportée à la question 4


Question 4  \dfrac{u}{v}=u\times  \dfrac{1}{v}

vous connaissez la dérivée d'un produit et la dérivée de \dfrac{1}{v}  celle que l'on vient d'établir

avec ces renseignements, on vous demande de démonter la dérivée de \dfrac{u}{v}

On vous donne le résultat  ou si vous préférez c'est à cette expression que vous devez aboutir


Le numérateur de la fractions faites à 12:03 va tendre vers v(a)v(a) donc v(a)2 c'est ça ?
Et d'accord merci pour le conseil


Ah non mince le numérateur tends vers \dfrac{v(a)-v(a)}{0} donc la fraction est impossible non ?

Posté par
hekla
re : taux de variations 23-02-23 à 20:47

On vous a demandé question 1 le taux de variation de v entre a+h et a pour aboutir à la dérivée de v

on vous le fait exhiber lors du taux de variations de 1/v   et vous ne l'avez pas reconnu

la dérivée de 1/v est donc  - v'/v^2

Posté par
saraassk
re : taux de variations 23-02-23 à 21:27

Ah d'accord je n'avais pas compris cela,  l'exercice m'a paru compliqué pour pas grand chose
Merci en tout cas pour l'aide je comprends mieux maintenant.

Posté par
hekla
re : taux de variations 23-02-23 à 21:36

Des problèmes pour la question 4 ?

Posté par
saraassk
re : taux de variations 24-02-23 à 10:28

carpediem @ 23-02-2023 à 09:35

salut

je suivais de loin ...

pour donner un peu de sens à ton exo :

tu sais déterminer le nombre dérivé et la dérivée d'une fonction à partir du taux de variation

ici l'objectif du pb est de te faire déterminer la dérivée de l'inverse d'une fonction (toujours avec le taux de variation) donc d'une fonction f s'écrivant f(x) = 1/v(x)

donc on te demande de calculer le taux de variation de f en a : [f(a + h) - f(a)]/h ...

mais une fois ce taux de variation déterminé n'oublie qu'il reste encore une chose à faire avant de conclure (et cela utilise le taux de variation de la fonction v)
(relire ton cours ou des exo)


PS : la question 4/ n'est pas claire ...


Désolé je n'avais pas vu votre message...

Merci beaucoup pour l'explication, je n'avais jamais calculé de dérivée de l'inverse d'une fonction c'est pour ça que je ne comprenais pas
Je suis d'accord pour la question 4

Posté par
saraassk
re : taux de variations 24-02-23 à 10:29

hekla @ 23-02-2023 à 21:36

Des problèmes pour la question 4 ?


Bonjour
Je suis en train de reprendre tout l'exercice avec vos explications pour être sûre de bien comprendre avant de me lancer sur la question 4

Posté par
hekla
re : taux de variations 24-02-23 à 10:39

Bonjour

Je vais rester encore une heure environ,  puis ne pourrai être sur le site avant 18 h.

Posté par
saraassk
re : taux de variations 24-02-23 à 11:06

D'accord pas de souci
Est ce que vous pourriez me re écrire les étapes pour aboutir au nombre dérivée en a de la fonction 1/v(x) donc \dfrac{v'}{v^{2}}
C'est ce que je ne comprends pas

Posté par
hekla
re : taux de variations 24-02-23 à 11:20

Pour simplifier un peu le départ  de la question 2

on pose f=\dfrac{1}{v}

on cherche alors \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

 \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\dfrac{1}{v(a+h)}-\dfrac{1}{v(a)}}{h}

on réduit au même dénominateur  on aboutit à - \dfrac{v(a+h)-v(a)}{v(a+h)v(a)h}

question 3 en déduire  

C'est de la forme  \dfrac{A}{BC} avec A= v(a+h)-v(a)\qquad B=h\qquad C=v(a+h)v(a)

On peut alors écrire \dfrac{\left(\dfrac{A}{B}\right)}{C}

d'où - \dfrac{v(a+h) - v(a)}{v(a) v(a+h)h}=-\dfrac{\left(\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}\right)}{v(a+h)v(a)}


Quand h tend vers 0  le numérateur tend vers v'(a)  et le dénominateur vers (v(a))^2

par conséquent, f'(a)=-\dfrac{v'(a)}{v(a)^2}

Posté par
saraassk
re : taux de variations 24-02-23 à 11:25

Quand vous dites le numérateur tends vers v'(a) vous parlez bien de \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h} mais si h tends vers 0 cela signifie donc que l'on remplace par 0 donc on obtient \dfrac{v(a)-v(a)}{0}
c'est ici que je ne comprends pas

Posté par
hekla
re : taux de variations 24-02-23 à 11:31

N'est-ce pas ainsi que l'on a défini le nombre dérivé ?

Quand h tend vers 0 si la limite de \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} est finie. Cette limite est le nombre dérivé de f en a

il est bien évident que f(a+h)-f(a) tend vers 0 et h tend vers 0

Posté par
saraassk
re : taux de variations 24-02-23 à 11:37

Ah oui en effet j'avais mal compris

Pour la question 4 on se sert donc de la reponse trouvée à la 3 c'est ça ? On utilise donc la formule f(x)= \dfrac{1}{x^{n}} et f'(x)
=\dfrac{-n}{x^{n+1}}

Posté par
hekla
re : taux de variations 24-02-23 à 11:46

Non, on utilise  (uv)'=u'v+v'u

  \dfrac{u}{v}=u\times  \dfrac{1}{v}

donc  \left( \dfrac{u}{v}\right)'=u'\times  \dfrac{1}{v}+u\times \left(\dfrac{1}{v}\right)'

À ce soir

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