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taux de variations
Bonjour voici l'énoncé de mon exercice:
1. Donner l'expression du taux de variation d'une fonction v(x) entre a et (a+h) v(a+h) - v(a) / h
2. Montrer que le taux de variation de 1/v(x) entre a et (a+h) est égal à: -( v(a+h) - v(a) ) / h v(a+h) v(a)
3. En déduire l'expression du nombre dérivée en a de la fonction 1/v(x)
4. En utilisant l'égalité (u/v)' (a) = u'(a) v(a) - u(a) v'(a) / v^2(a)
En bleu mes réponses.
A partir de la question 2 le 1/v(x) me pose problème, je ne sais pas s'il faut que je remplace dans la formule " v(a+h)" par 1/v(a+h) et de même pour v(a) ou non car même si je le fais je n'obtiens pas ce qui est demandé. Aussi pour la question 4 cela me parait logique d'utiliser le théorème de la dérivée d'un quotient plutôt que d'utiliser celui du produit.
Mince je n'ai pas copié la question 4 en entier.
Voici la suite:
4. [...] et le théorème de la dérivée d'un produit montrer que :
(u/v)' (a) = u'(a)v(a) - u(a)v'(a) / v^2(a).
Bonjour
Les parenthèses sont obligatoires
ou (v(a+h)-v(a))/h
C'est bien la définition d'une fonction f(x)=\dfrac{1}{v(x)}
donc
D'accord donc pour la 2 je fais bien ( 1/v(a+h) - 1/v(a) ) / h mais dans l'énoncé il est dit que l'on doit montrer que c'est -v(a+h) - v(a) / h v(a+h) v(a)
Sinon je vois bien que l'on peut appliquer la règle de multiplier par l'inverse donc au lieu de diviser par h on multiplierai par 1/h et on obtiendrai donc 1/v(a+h) - 1/v(a)h
J'écris les maths avec
Vous pouvez essayer en cliquant sur LTX avec un point rouge, c'est une aide pour écrire avec
On va commencer par mettre le numérateur au même dénominateur
Je vous laisse terminer, multiplier la fraction par
Ah d'accord merci beaucoup
En multipliant par on obtient donc
mais il manque le signe - non ? Au début de la fraction comme indiquer dans l'énoncé
Pourquoi vous avez changé les signes, on obtenait
Je n'ai pas compris de où vous parlez ?
Pour la suite, il vaut mieux prendre la forme
Je ne comprends pas cette partie...
A l'issue de notre multiplication par
Je me doute que ce n'est pas si compliqué à comprendre mais je n'y arrive pas si vous pourriez m'éclairer
Après réduction au même dénominateur et multiplication par on a bien obtenu cela
On a aussi
commutativité
Si on décide de ne pas mettre de signe au début, on va mettre alors
en facteur, ce qui revient à changer les signes.
En effet
on a donc alors Là, les parenthèses sont indispensables
se rapporte aux deux
On se sert de cela pour mettre le signe devant la fraction, on a alors
Les parenthèses au numérateur ne servent à rien, un signe devant un trait de fraction est identique à mettre des parenthèses au numérateur. Cela ferait alors double emploi.
il vaut mieux en mettre trop que pas assez jusqu'à un certain point, cependant, car après cela devient vite illisible
D'accord j'y vois beaucoup plus clair maintenant merci.
Le seul point où je ne suis pas sûre de comprendre c'est si l'on a la possibilité choisir entre appliquer la commutativité ou mettre -1 en facteur ou bien la commutativité et une étape intermédiaire afin de pouvoir mettre -1 en facteur.
J'ai essayé de détailler au maximum, c'est-à-dire un seul changement à la fois, en général, on le fait ensemble sans y penser.
Il va falloir faire encore un changement d'écriture pour apercevoir ce que l'on veut montrer
Quelle est la dérivée de v ?
Je pensais que nous avions fini la question deux quel changement manque t-il ?
A part l'ordre des lettres au dénominateur je ne vois rien
Je ne comprends pas ce que vous dites par la dérivée de v vous parler de la dérivée de 1/v(x) ?
Oui, on a bien montré que le taux de variation était bien . Avec cela la question 2 était résolu.
J'anticipais un peu sur la question 3
Je suis bien d'accord qu'il s'agit de la dérivée de , il serait étonnant que la dérivée de la fonction
n'intervienne pas d'où ma question.
salut
je suivais de loin ...
pour donner un peu de sens à ton exo :
tu sais déterminer le nombre dérivé et la dérivée d'une fonction à partir du taux de variation
ici l'objectif du pb est de te faire déterminer la dérivée de l'inverse d'une fonction (toujours avec le taux de variation) donc d'une fonction f s'écrivant f(x) = 1/v(x)
donc on te demande de calculer le taux de variation de f en a : [f(a + h) - f(a)]/h ...
mais une fois ce taux de variation déterminé n'oublie qu'il reste encore une chose à faire avant de conclure (et cela utilise le taux de variation de la fonction v)
(relire ton cours ou des exo)
PS : la question 4/ n'est pas claire ...
Oui
Donc dans le taux de variation, il va falloir transformer un peu l'écriture pour faire apparaître
Non, car ce ne sont pas des expressions égales
on sait que
C'est plutôt avec cela que l'on va transformer
La question 4 est claire
4. En utilisant l'égalité et le théorème de la dérivée d'un produit, montrer que : (u/v)' (a) = u'(a) v(a) - u(a) v'(a) / v^2(a)
C'est de la forme
On peut alors écrire
d'où
Donc je dois m'aider de ça pour trouver la dérivée de 1/v(x) ?
La question 4 est claire
4. En utilisant l'égalité et le théorème de la dérivée d'un produit, montrer que : (u/v)' (a) = u'(a) v(a) - u(a) v'(a) / v^2(a)
je ne comprends pas car on nous dit d'utiliser le théorème de la dérivée d'un produit mais on nous demande de montrer avec le théoreme de la dérivée d'un quotient car la dérivée d'un quotient est égale à
Terminons d'abord la dérivée de
que se passe-t-il lorsque h tend vers 0 ?
va tendre vers
le numérateur de la fraction établie à 12 :03
va tendre vers
Par conséquent, la dérivée de est
réponse 19 :15 oui c'est aussi ce que je précise au-dessus
19: 18 Non, une preuve vous est apportée à la question 4
Question 4
vous connaissez la dérivée d'un produit et la dérivée de celle que l'on vient d'établir
avec ces renseignements, on vous demande de démonter la dérivée de
On vous donne le résultat ou si vous préférez c'est à cette expression que vous devez aboutir
Une petite remarque : bien pour l'utilisation de mais les fractions sont un peu petites
au lieu de \frac il vaut mieux utiliser \dfrac.
Terminons d'abord la dérivée de
que se passe-t-il lorsque h tend vers 0 ?
Par conséquent, la dérivée de
réponse 19 :15 oui c'est aussi ce que je précise au-dessus
19: 18 Non, une preuve vous est apportée à la question 4
Question 4
vous connaissez la dérivée d'un produit et la dérivée de
avec ces renseignements, on vous demande de démonter la dérivée de
On vous donne le résultat ou si vous préférez c'est à cette expression que vous devez aboutir
Le numérateur de la fractions faites à 12:03 va tendre vers v(a)v(a) donc v(a)2 c'est ça ?
Et d'accord merci pour le conseil
En fait je n'ai pas compris car vous avez dit la fraction faites à 12:03 donc
Mais vous avez écrit
si vous parlez de la seconde le numérateur tend vers 0 car v(a)-v(a)
Terminons d'abord la dérivée de
que se passe-t-il lorsque h tend vers 0 ?
Par conséquent, la dérivée de
réponse 19 :15 oui c'est aussi ce que je précise au-dessus
19: 18 Non, une preuve vous est apportée à la question 4
Question 4
vous connaissez la dérivée d'un produit et la dérivée de
avec ces renseignements, on vous demande de démonter la dérivée de
On vous donne le résultat ou si vous préférez c'est à cette expression que vous devez aboutir
Le numérateur de la fractions faites à 12:03 va tendre vers v(a)v(a) donc v(a)2 c'est ça ?
Et d'accord merci pour le conseil
Ah non mince le numérateur tends vers
On vous a demandé question 1 le taux de variation de entre
et
pour aboutir à la dérivée de v
on vous le fait exhiber lors du taux de variations de et vous ne l'avez pas reconnu
la dérivée de est donc
Ah d'accord je n'avais pas compris cela, l'exercice m'a paru compliqué pour pas grand chose
Merci en tout cas pour l'aide je comprends mieux maintenant.
salut
je suivais de loin ...
pour donner un peu de sens à ton exo :
tu sais déterminer le nombre dérivé et la dérivée d'une fonction à partir du taux de variation
ici l'objectif du pb est de te faire déterminer la dérivée de l'inverse d'une fonction (toujours avec le taux de variation) donc d'une fonction f s'écrivant f(x) = 1/v(x)
donc on te demande de calculer le taux de variation de f en a : [f(a + h) - f(a)]/h ...
mais une fois ce taux de variation déterminé n'oublie qu'il reste encore une chose à faire avant de conclure (et cela utilise le taux de variation de la fonction v)
(relire ton cours ou des exo)
PS : la question 4/ n'est pas claire ...
Désolé je n'avais pas vu votre message...
Merci beaucoup pour l'explication, je n'avais jamais calculé de dérivée de l'inverse d'une fonction c'est pour ça que je ne comprenais pas
Je suis d'accord pour la question 4
Des problèmes pour la question 4 ?
Bonjour
Je suis en train de reprendre tout l'exercice avec vos explications pour être sûre de bien comprendre avant de me lancer sur la question 4
D'accord pas de souci
Est ce que vous pourriez me re écrire les étapes pour aboutir au nombre dérivée en a de la fonction 1/v(x) donc
C'est ce que je ne comprends pas
Pour simplifier un peu le départ de la question 2
on pose f=\dfrac{1}{v}
on cherche alors
on réduit au même dénominateur on aboutit à
question 3 en déduire
C'est de la forme avec
On peut alors écrire
d'où
Quand tend vers 0 le numérateur tend vers
et le dénominateur vers (v(a))^2
par conséquent,
Quand vous dites le numérateur tends vers v'(a) vous parlez bien de mais si h tends vers 0 cela signifie donc que l'on remplace par 0 donc on obtient
c'est ici que je ne comprends pas
N'est-ce pas ainsi que l'on a défini le nombre dérivé ?
Quand tend vers 0 si la limite de
est finie. Cette limite est le nombre dérivé de
en
il est bien évident que tend vers 0 et
tend vers 0
Ah oui en effet j'avais mal compris
Pour la question 4 on se sert donc de la reponse trouvée à la 3 c'est ça ? On utilise donc la formule f(x)= et f'(x)
=
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