Petite aide incomplète.

Remarque si tu veux vraiment calculer f(Pi/8), cela est immédiat.
F(x) = sin(2x)
F(Pi/8) = sin(2.Pi/8) = sin(Pi/4) = sin(45°) = 1/racine(2)
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Moi je préfère faire comme suit:

Poser y = 2x

x = Pi/8 -> y = Pi/4

Cela revient donc à développer f(y) = sin(y) autour de b = pi/4.

f(x) = sin(x)      f(Pi/4) = sin(Pi/4) = 1/racine(2)
f'(x) = cos(x)     f'(pi/4) = cos(Pi/4) = 1/racine(2)
f''(x) = -sinx     f''(Pi/4) = -sin(Pi/4) = -1/racine(2)
f'''(x) = -cos(x)  f'''(pi/4) = -cos(Pi/4) = -1/racine(2)

f''''(x) = sin(x)  f(Pi/4) = sin(Pi/4) = 1/racine(2)
Cela recommence et continue comme au début.

sin(y) = (1/racine(2)).[1 + (y-(Pi/4)) - (((y-(Pi/4))²)/2!) - (((y-(Pi/4))³)/3!)
+ (((y-(Pi/4))^4)/4!) + . . . ]

sin(2x) = (1/racine(2)).[1 + (2x-(Pi/4)) - (((2x-(Pi/4))²)/2!) - (((2x-(Pi/4))³)/3!)
+ (((2x-(Pi/4))^4)/4!) + . . . ]



180° = Pi
75° = (75/180).Pi = (5/12).Pi

2x = 75° = (5/12).Pi
x = (5/24).Pi
sin(75°) = (1/racine(2)).[1 + (2.(5/24).Pi-(Pi/4)) - (((2.(5/24).Pi-(Pi/4))²)/2!)
- (((2.(5/24).Pi-(Pi/4))³)/3!) + (((2.(5/24).Pi-(Pi/4))^4)/4!) +
. . . ]
sin(75°) = (1/racine(2)).[1 + 0,523598775598 - 0,137077838904 - 0,023924596204
+ 0,00313172232 + ...
sin(75°) = (1/racine(2)).[0,318530511614 + ...]
sin(75°) = 0,96571557447 environ

Alors que la calculette donne sin(75°) = 0,965925826289...
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merci beaucoup de votre aide

Aide supplémentaire sur la convergence.

Quand on a affaire à une série à termes de signes quelconques, un théorème
dit que si la série comportant les mêmes termes en valeur absolue
converge, alors la série initiale converge aussi.

La série avec les termes en valeur absolue a pour terme général:
Un = (2x-(Pi/4))^n /n!

On calcule lim(n->oo) [U(n+1) / U(n)]:
lim(n->oo) [U(n+1) / U(n)] = lim(n->oo) [(2x-(Pi/4))^(n+1) /(n+1)! ]/[(2x-(Pi/4))^n
/n! ] = lim(n->oo) (2x-(Pi/4))/(n+1)=0

Donc lim(n->oo) [U(n+1) / U(n)] = 0 est < 1

Par la règle de Dalembert la série est convergente quelle que soit la
valeur de x.

Remarque:
Pour de grande valeur de x, la série converge aussi mais il faudrait calculer
énormément de termes avant que ceux-ci ne diminuent et amèment une
erreur acceptable en négligeant les termes suivants.
Pour éviter ce problème, il est préférable de ramener l'angle 2x
entre 0 et 2Pi (ou entre -Pi et + Pi) en utilisant le fait que:
sin(2x) = sin(2x + 2kPi) avec k entier quelconque.

Par exemple si on veut calculer sin(1256°)
on fait sin(1856°) = sin(1856° + 2.k.180°)
en choisissant k = -5 , on trouve que  sin(1256°) = sin(56°)
Et donc calculer sin(1256°) revient à calculer sin(56°).

Attention comme x doit être exprimé en Radian, on fait:
180 ° = Pi radian
56° = (56/180).Pi     radian
2x = (56/180).Pi    
x = (56/360). Pi
x = (7/45).Pi

Et donc l'approximation de sin(1256°) s'obtient en remplaçant
x par (7/45).Pi
dans:
(1/racine(2)).[1 + (2x-(Pi/4)) - (((2x-(Pi/4))²)/2!) - (((2x-(Pi/4))³)/3!)
+ (((2x-(Pi/4))^4)/4!) + . . . ]

Il faut prendre suffisamment de termes en considération pour avoir une
erreur satisfaisante.
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Sauf distraction.

merci a nouveau de votre aide elle est grandement appréciée