repost

Bonjour  

comment calculer :

a l'aide d'1 developpement au choix a l'ordre
2.

Merci

3eme tentative pour afficher le signe racine carre.

comment calculer :  

racine carre 4,1 a l'aide d'1 developpement au choix a l'ordre

2.  

Merci

de maniere generale:
f(x+h)=f(x)+hf'(x)+h²f''(x)+o(h²)
avec f(x)=rac(x)
ca donne:

rac(x+h)=rac(x)+h/(2rac(x))+h²/(4x^(3/2))

tu applique ca avec x=4 et h=0,1

rac(4,1)=rac(4)+0,1/(2rac(4))+0,01/(4.4^(3/2))
rac(4,1)=2+0,025+0,0003125
rac(4,1)=2,0253125

Voila en gros.
A+

En relisant mon mesage il me faut ajouter qqch:

A la fin quand j'écris rac(4,1)=2,0253125 ce n'est pas une
égalité pure, mais une estimation avec une erreur en h².

A+

je ne comprend pas tres bien ton raisonement, pourrait tu m'expliquer
les differentes etapes?

Merci

Salut !

1. Première étape (non négligeable...) : c'est de connaître
la formule qu'on te demande d'appliquer  
Cette formule te dit que pour f de classe C2 et pour tous x et h on a
f(x+h)=f(x)+hf'(x)+h²f''(x)+o(h²).

2. Deuxième étape, appliquer cette formule à la bonne fonction.
Ici, pas de doute : c'est la fonction racine carrée, puisque le but
de l'exercice est d'approximer (4,1)
!

3. Troisième étape : faire tous les calculs nécessaires pour
l'appliquer.
Ici, pour écrire le développement limité à l'ordre 2, il te faut
calculer f' puis f''.
ici
* f(x) = (x)
* f'(x) = 1/[2(x)]
* f''(x) = -1/[4*x^(3*/2)]
pour ce dernier calcul, il s'agit de dériver
f'(x) = 1/[2(x)]
c'est-à-dire f'(x)=1/u(x) avec u(x)=2(x)
Donc f''(x)=-u'(x)/[u(x)]²
avec u'(x)=1/(x)
c'est-à-dire u'(x)=1/x^(1/2)
Bref, on calcule -u'(x)/[u(x)]²   et on trouve -1/[4*x^(3*/2)]

Au final, tu trouves l'égalité annoncée par Guillaume :
(x+h)=(x)+h/[2(x)]+h²/[4x^(3/2)]

4. Quatrième étape :
Puisque tu veux approximer (4,1), il ne te reste plus qu'à
remplacer x par 4 et h par 0,1.
Pour la suite des calculs, Guillaume te l'a détaillée plus haut.

Je n'ai pas eu le courage de détailler davantage le calcul de f''.
Mais si tu as un problème... n'hésite pas

@+

merci pour vos reponse mias je ne comprend pas tres bien
comment trouver f' et f''.

f'(x) = 1/[2(x)]
f''(x) = -1/[4*x^(3/2)] ==> pquoi 3/2 ????

Merci

Salut !

Tout d'abord, une première remarque qui est peut-être à l'origine
de ton problème : c'est que    (x)=x^(1/2).

Ensuite, pour ce qui est du caclul de f', tu as une formule qui te donne
directement le résultat.
Mais tu peux également le déduire d'une formulr plus générale :
si f(x) = x^
alors f'(x) = * x^( -1)
Si tu l'appliques pour =1/2, tu obtiens que f(x)=
(x)
et f'(x)= [1/2] * x^[1/2-1]
      f'(x)= [1/2] * x^[-1/2]
      f'(x)= [1/2] / x^[1/2]
      f'(x)= [1/2] / (x)
On retrouve la formule connue : f'(x)= 1/ 2(x)

Enfin, reprenons le calcul de f'' :
Comme je te le disais, on peut remarque que f'(x) = 1/u(x)
avec u(x)=2(x)
Or (1/u)'=-u'/u²
et u'(x)=2*[1/2 (x)]
       u'(x)=1/(x)
et [u(x)]²=[2(x)]²=2²*(x)²
       [u(x)]²=4x

Donc, f''(x)=-[1/(x)]/[4x]
          f''(x)=-1/[4*x*(x)]
          f''(x)=-1/[4*x*x^(1/2)]
          f''(x)=-1/[4*x^(1+1/2)]
          f''(x)=-1/[4*x^(3/2)]

Voilà. J'espère que c'est fois, c'est plus clair pout toi
!

Salut,
Pour répondre à ta dernière question :

La dérivée seconde (si ça s'appelle bien comme ça), ici f'',
c'est la dérivée de la dérivée (ici f') de f.
Si tu veux calculer f'', tu dois donc calculer la dérivée
de f'. Or on a :

f'=u/v     DONC     f''= (u'v-v'u) / (v²)

avec :
u=1         donc    u'=0
v= 2x       donc    v'=1/(x)


On a donc :

f''= (0*2x - (1/(x))*1) / (2x)²
f''= (-1/(x))  / (4x)
f''= -1 / (4x*(x) )
f''= -1 / (4x^3/2)

==============================
Explication supplémentaire pour le "4x^3/2" :

x=x^0,5=x^1/2

________________________
PETITE DÉMO :
on sait que :

x * x = (x)²=x

Or d'après les règles de calculs des puissances, on a aussi :
x^1/2*x^1/2=(x^1/2)²= x^1/2+1/2 = x¹ =x

CONCLU : On a bien x=x^0,5=x^1/2
(essaie avec ta calculatrice, tu verras )
______________________________


donc en fait :
  4x*(x)
=4x¹*x^0,5
=4x^1,5
=4x^3/2

================================


Voilà, et pour l'approximation affine, je suis d'accord avec les
résultats de Guillaume. En première S on a pas encore vu une formule
aussi dévellopée mais juste :

f(a+h)=f(a)+f'(a)*h+d(h)  
(où d(h) est une fonction qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0, c'est
l'imprécision quoi)

donc avec mes calculs je trouvais :

(4+0,1) 4 + (1/(2*4))
* 0,1

(4+0,1) 2 + 1/4 * 0,1
(4+0,1) 2 + 0,025
(4+0,1) 2,025

Voilà .

À +