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TD Tale Spé Maths: Nombres de Fermat
Bonjour,
Je dois rendre un TD de spé maths portant sur les nombres de Fermat pour la rentrée et je bloque sur la dernière question.Voici l'énoncé, je n'écris que la partie mathématique, la partie informatique n'étant pas vraiment nécessaire pour la résolution de cette dernière question.
n désigne un entier naturel. Posons Fn+1 = 22n + 1. Chacun des nombres Fn+1 est appelé nombre de Fermat.
Le but du TP est d'étudier deux propriétés arithmétiques de ces nombres.
II) Démonstration
1)Démontrons que pour tout entier naturel n, Fn+1 = (Fn - 1)² + 1
2)a) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, n≥2
Fn est congru à 7[10]
b) Déduisons-en le chiffre des unités de Fn
3)n désigne un entier naturel
a)d est un diviseur commun à Fn et à Fn+1 . Démontrons que d divise 2.
b)Déduisons-en que Fn et Fn+1 sont premiers entre eux.
III) Complément
p désigne un entier naturel. On pose Tp = 2p + 1
Nous allons prouver que, hormis T0, si Tp est premier, alors c'est un nombre de Fermat.
1) Pour x réel, x ≠ -1, calculons la somme:
S = 1 - x + x² + … + (-1)p * xp
2) Démontrons que quels que soient les entiers naturels x et n, x (2n+1) + 1 est
divisible par x + 1
3) Déduisons-en que quels que soient les entiers naturels k et p, si k est impair,
alors 2 (2p)k + 1 est divisible par 2(2p) + 1.
4) Concluez
Voilà il me manque seulement le "concluez" où je dois déduire que hormis T0, si Tp est premier alors c'est un nombre de Fermat, malheureusement je ne vois vraiment pas par où commencer..
Certainement je dois m'aider du 3) du complément mais je n'ai pas d'idée.
Quelqu'un pourrait m'aider svp?
Finalement on vient de m'envoyer la réponse à cette question, je la mets si ça intéresse quelqu'un..
4)Concluons
Supposons p entier, p ≥ 1 et Tp premier.
Par décomposition en facteurs premiers,
p= 2n* m où m est impair.
On obtient alors
Tp = (2²n)m + 1
D'après le 3), si m > 1 alors Tp est divisible par + 1.
De ce fait Tp admet un diviseur strict ce qui est contradictoire avec Tp premier.
On en conclut que m=1 et Tp = 2²n +1 = Fn
Ainsi si Tp est premier alors c'est un nombre de Fermat.
Voila le sujet peut être clos
Bonjour, serait-il possible d'avoir de l'aide pour le III j'ai compris la conlusion que tu as postez, mais je ne sais pas comment faire les question précédents.
J'aimerais avoir de l'aide le plus rapidement possible car je dois rendre mon devoir dans 2-3 jours.
Je vosu remercie d'avance de votre aide.
http://msjantibes.free.fr/file/AIACH/TS/EPREUVEPRATIQUE/TP_Nombres_de_Fermat.pdf
Tu auras tout, si tu as besoin de complément d'explications dis moi 
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