Niveau seconde

Techniques d'encadrements

Posté par Boss_maths 03-09-13 à 18:26

Bonjour,

Je viens de lire un document sur les techniques d'encadrements, mais la pratique de toutes ces règles de manipulation des inégalités nécessitent une certaine expérience.
Merci beaucoup pour la vérification un peu longue... mais avec Latex

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que :
$3<a<4\text{   et   }-2<b<-1$
Donner un encadrement des nombres suivants :
$a+b\ ;\quad a-b\ ;\quad 4b-3a\ ;\quad ab\ ;\quad\dfrac{a}{b}\ ;\quad a^2-b^2\ ;\quad \dfrac{\sqrt{a-2}}{b}$
_______________________________________________________

$a+b$ : le plus facile, la somme s'effectue directement membre à membre.
$3-2<a+b<4-1\iff 1<a+b<3$

$a-b$ : on ne peut pas faire directement la différence membre à membre.
$a-b=a+(-b)\text{  avec  }1<-b<2$ , donc :
$3+1<a+(-b)<4+2\iff 4<a-b<6$

$4b-3a\iff 4\times b+(-3\times a)$
Les multiplications sont prioritaires :
$4\times(-2)<4b<4\times(-1)\iff -8<4b<-4$
$3\times 3<3a<3\times 4\iff 9<3a<12\iff -12<-3a<-9$
Et maintenant la somme :
$-8+(-12)<4b+(-3a)<-4+(-9)\iff -20<4b-3a<-13$

$ab$ : on ne peut multiplier membre à membre que des quantités positives. Il faut au préalable encadrer $-b$ .
$-2<b<-1\iff 1<-b<2$
$3\times 1<-ab<4\times 2\iff -8<ab<-4$

$\dfrac{a}{b}$ : on ne peut pas effectuer directement la division : $\dfrac{a}{b}=a\times\dfrac{1}{b}$
$-2<b<-1\iff -1<\dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{2}\iff\dfrac{1}{2}<-\dfrac{1}{b}<1$
$3\times\dfrac{1}{2}<a\times-\dfrac{1}{b}<1\times 4\iff -4<a\times\dfrac{1}{b}<-\dfrac{3}{2}$

$a^2-b^2$ : suivants les signes les carrés sont rangés différemment.
$3<a<4\iff 9<a^2<16$
$-2<b<-1\iff 1<b^2<4 \iff -4<-b^2<-1$
$9-4<a^2-b^2<16-1\iff 5<a^2-b^2<15$

$\dfrac{\sqrt{a-2}}{b}=\sqrt{a-2}\times\dfrac{1}{b}$
On commence par encadrer la racine :
$3<a<4\iff 3-2<a-2<4-2\iff 1<\sqrt{a-2}<\sqrt{2}$
$\dfrac{1}{2}<-\dfrac{1}{b}<1\iff 1\times\dfrac{1}{2}<-\dfrac{1}{b}\times\sqrt{a-2}<1\times\sqrt{2}\iff -\sqrt{2}<\dfrac{\sqrt{a-2}}{b}<-\dfrac{1}{2}$

Je pense que tout est ok ? Il reste une question importante.
Lorsqu'on a des valeurs - et + dans un encadrement, on est obliger de passer par zéro pour découper l'encadrement ?
Exemple : $-2<a<1\iff -2<a<0\text{  et  }0<a<1$
Avec cette façon de faire on a deux fois plus de travail

Encore merci et @+

Posté par re : Techniques d'encadrements 03-09-13 à 19:01

Bonsoir Boss_maths ,

Tout est correct , à part une petite faute de frappe : -8 < ab < -3

Quand les valeurs des nombres donnés sont comprises entre un nombre négatif et un nombre positif , il faut effectivement distinguer 2 domaines .

Posté par Techniques d'encadrements 03-09-13 à 19:11

Bonjour,
pour la somme, pas de problème quels que soit les signes a<x<b et a'<y<b' alors a+a'<x+y<b+b'
pour le produit si a<0<b et a'<0<b'
a<x<b et a'<y<b' alors minimum(ab',a'b)<xy<max(aa',bb')
exemple -3<x<5 et -7<y<2  -3*2=-6 ,5 *-7=-35,
-3*-7=21, 5*2=10  alors -35<xy<21

En revanche dès qu'il y a un quotient  attention à la division par 0 , tu peux dire dans ce cas de grosses bètises

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