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Tentative intégrale

Posté par
FerreSucre 09-02-21 à 18:53

Bonsoir, j'ai regardé plusieurs vidéos qui prenait une intégrale comme :

\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{cos(x)}{x²+1}dx = \dfrac{\pi}{e}

Et utilisant la technique de "Feynman"
Quelqu'un m'avais donné une intégrale que j'ai résolu petit à petit avec un peu d'aide d'une vidéo :

\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}dx = \dfrac{\pi}{2}

Et je me demandais si c'était peut-être jouable de faire l'intégrale de gauss avec :

A = \int_{0}^{+\infty} e^{-x²}dx

I(n) = \int_{0}^{+\infty} e^{-nx²}dx

I'(n) = \int_{0}^{+\infty} -x^2e^{-nx²}dx

Avec une IPP :

I'(n) = [x\dfrac{e^{-nx²}}{2n}]_0^{+\infty} - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{-nx²}}{2n}dx

[x\dfrac{e^{-nx²}}{2n}]_0^{+\infty} = 0

I'(n) =  - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{-nx²}}{2n}dx

I'(n) = -\dfrac{I(n)}{2n}

Equation différentielle ( j'utilise wolframalpha ici car je sais que résoudre premier ordre et second ordre classique de la forme y' = ay et ay"+by'+cy = 0 , :/ )

\forall{n} \in \R^{*} , I(n) = \dfrac{c_1}{\sqrt{n}} \Rightarrow I(1) = c_1 = A

Sauf que là on est embêté pour trouver c_1 en faite , je pense que je suis bien bloqué là non ?
Si vous avez une idée :/ merci

Posté par
FerreSucrere : Tentative intégrale 09-02-21 à 19:20

Bon le résultat est quand même intéressant malgré tout , je suis allé chercher un peu sur YouTube ducoup, j'ai vue la vidéo de dr peyam sur celle ci avec la technique de Feynman.
Faut que je choisisse la bonne fonction en faite au début, pas évident.
On a quand même :

\int_0^{+\infty}e^{-nx²}dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{n}}

C'est déjà ça on va dire, je repart pas avec rien de cette tentative x).

Posté par
FerreSucrere : Tentative intégrale 09-02-21 à 19:23

Si jamais vous en avez une qui utilise cette méthode mais pas trop difficile, juste pour s'entraîner ^^je suis preneur, histoire de s'occuper


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