Exercice 2: Calcul approché d'une intégrale par la méthode des rectangles

On considère l'intégrale I = intégrale (a=0 , b=1) de f(x)dx, où
f est la fonction définie par f(x) = e^-(x^2) .(f(x)=exponentielle
de moins x au carré)
On ne peut calculer la valeur exacte de I, parce qu'on ne connaît
pas d'expression
explicite d'une primitive de f.
Pour tout entier naturel non nul n, on pose:

Sn = (1/n) facteur de la somme, de i=0 jusqu'a (n-1) , de f de
(i/n)

S'n = (1/n) facteur de la somme, de i=0 jusqu'a (n-1) , de f de
((i+1)/n)

=(1/n) facteur de la somme, de i=1 jusqu'a n , de f de (i/n)




1) On prend n = 5 . Interpréter graphiquement I, S 5 et S' 5 (faire

une figure, en prenant pour unité 10 cm):
2) Démontrer que, pour tout n de N*, on a les inégalités S'n inférieure
ou égal à I inférieur ou égal à Sn
Indication: Appliquer l'inégalité de la moyenne sur chaque intervalle
[ (i/n) ; ((i+1)/n)] , avec 0 inférieur ou égal à  i inférieur ou égal
à n


3) Calculer Sn - S'n en fonction de n; en déduire la limite de
la suite (Sn - S'n)n supérieur ou égal à 1
4) Déduire des questions précédentes que les suites (Sn)n supérieur
ou égal à 1 et (S'n)n supérieur ou égal à 1 convergent toutes
deux vers I.
5) A l'aide d'une calculatrice, calculer des valeurs approchées
de Sn et S'n pour n = 100,
n = 1000 et n = 10000. En déduire un encadrement de I d'amplitude
2 x 10^-4.


voila merci pour toute aide