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Term S spé math : nbs de mersenne
lut a tous!
voilà j'ai quelques exos à faire pour "m'entrainer au bac"
selon le prof.
dans le tas, il y en a un qui dit :
les nbs de mersenne [...]démontrer que pour tout réel x, (x^n) - 1 =
(x-1).(x^(n-1) + x^(n-2).....+x+1)
j'ai juste démontré avant que si n pas premier, alors n admet un diviseur
strict d, et que donc il existe d' tel que n=d.d' et 1<d<d'
ensuite j'ai démontré que d' divisait n
et là c la question 2 et je sèche.
si quelqu'un peut aider, merci!
Pars du second membre et développe l'expression.
PL
http://www.amidesmaths.com
Une astuce pour montrer que x-1 divise x^n-1 est d'utiliser
les pomynomes:
Soit p(x)=x^n-1
Le nombre x=1 annule le polynome, donc (x-1) est un facteur de p(x)
On aurait de même
si n impair, x+1 divise x^n+1
si n pair, x+1 divise x^n-1
Tu peux aussi calculer la somme des termes d'une suite géométrique
:
1 + q + q² + ... + q^n = (q^n-1)/(q-1)
D'où le résultat avec q = x !
On peut même généraliser ces résultats avec a et b.
Il est primordial de connaire :
Quels que soient a et b non nuls, et n entier :
a -b divise a^n - b^n
a + b divise a^n + b^n si n est impair
a + b divise a^n - b^n si n est pair.
Les démos avec les nombres de Mersenne et de Fermat utilisent souvent
ces propriétés.
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