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terminal S complexes

Posté par delphine59 (invité) 30-01-05 à 21:41

Bonjour

j'ai un problème avec un exercice sur les complexes

Voila l'énoncé :
on considère l'équation (E) z²=-9-40i
a) On pose z =a+ib avec a et b réels
Démontrer que z est solution de (E) ssi le couple (a,b) est solution du système

a²-b²=-9
a²+b²=41
ab=-20
ca c ok

ensuite j'ai résolu l'équation u^4+18u²+1681 en posant z=u² et jai trouvé -9-40i et -9+40i

maintenant je cherche donc les complexes tels que u²-9-40i et -9+40i.
Pour -9-40i je me réfère à la question précédente mais est ce que j'ai une solution directe pour calculer -9+40i
par rapport à son cojugué ou dois je refaire tous les calculs?

si je dois faire des calculs pouvez vous me dire lesquels?

merci d'avance

Posté par
H_aldnoerre : terminal S complexes 30-01-05 à 21:57

slt

euh lol juste une question :
comment a tu fais pour faire la premiere question avec le systeme ??

Posté par delphine59 (invité)re : terminal S complexes 30-01-05 à 21:58

z=a+ib
z²=(a+ib)²=a²+2iab+(ib)²
z²=a²+2iab-b²
z²=a²-b²+i2ab
z vérifie z²=-9-40i
Par identification entre les parties réelles puis entre les parties imaginaires
a²-b²=-9
2ab=-40 d'où ab=-20
et |z|=|-9-40i|=racine(9²+40²)=41

Posté par
H_aldnoerre : terminal S complexes 30-01-05 à 22:04

oki

mé kelle é la kestion pr la suite ??

Posté par delphine59 (invité)re : terminal S complexes 30-01-05 à 22:12

j'ai résolu l'équation u^4+18u²+1681 en posant z=u² et jai trouvé -9-40i et -9+40i
je cherche donc les complexes tels que u²=-9-40i et u²=-9+40i.

Pour u²=-9-40i cela a déja été étudié au 1.
les solutions étaient -4+5i et 4-5i

mais je ne sais pas comment faire pour u²=-9+40i
pr trouver les solutions

Posté par
H_aldnoerre : terminal S complexes 30-01-05 à 22:24

bon apré kelke tps de reflexion voila

u^2=-9+40i(1) pour u_1=-4+5i et u_2=-4-5i
tu cherche pour u^2=-9-40i(2) or -9-40i et le conjugué de -9+40i:
les solutions pour (2) sont donc les conjugués des solutions pour (1) soit u_1=-4+5i et u_2=-4-5i

Posté par
H_aldnoerre : terminal S complexes 30-01-05 à 22:27

oups fausse manoeuvre :
u^2=-9+40i pr u_1=-4+5i et u_2=4-5i
donc u^2=-9-40i pr u_1=-4-5i et u_2=4+5i

dsl
@+ sur l'ile

Posté par delphine59 (invité)re : terminal S complexes 30-01-05 à 22:32

dsl mais ça ne marche pas
(-4-5i)²=-9-40i

Posté par delphine59 (invité)re : terminal S complexes 30-01-05 à 22:36

ça marche pour 4+5i mais comment justifier que ça ne marche pas pour -4-5i?

Posté par
H_aldnoerre : terminal S complexes 30-01-05 à 22:38

bon voyons voir :
(-4-5i)^2=(-4)^2-2(-4)(-5i)+(-5i)^2
(-4-5i)^2=16-2\times20i+(-5)^2\times i^2
(-4-5i)^2=16-40i+25\times -1
(-4-5i)^2=16-40i-25
(-4-5i)^2=-9-40i

... pr moi ca marche

Posté par delphine59 (invité)re : terminal S complexes 30-01-05 à 22:52

pour -9-40i ce sont les solutions que l'on a trouvé au 1.
ce que je cherche ce sont les solutions de -9+40i
en utilisant les conjugués comme vous me l'avez indiqué
ça donnerait -4-5i et 4+5i

(4+5i)²=-9+40i donc ca marche
(-4-5i)²=-9-40i et pas -9+40i
la 2e solution ne connvient pas

Posté par
H_aldnoerre : terminal S complexes 30-01-05 à 23:00

evidemment je me suis trompé ds mon developpement ... dsl:

(-4-5i)^2=(-1(4+5i))^2
(-4-5i)^2=(-1)^2\times(4+5i)^2
sincerement dsl pr mon faux devellopement

Posté par delphine59 (invité)re : terminal S complexes 30-01-05 à 23:27

ça marche pour 4+5i mais comment justifier que ça ne marche pas pour -4-5i?

Posté par
ma_corre terminal S complexes 31-01-05 à 08:12

Bonjour.
Il n'y a aucune relation de cause à effet pour l'utilisation du conjugué.  Tu peux essayer de montrer, cela est possible à ton niveau, que si une équation de degré n à coefficients réels admet z_0 pour solution, alors elle admet \bar{z_0} aussi pour solution.
Mais ce théorème n'est pas vrai si l'équation est à coefficients complexes, ce qui est le cas ici.
Pour répondre l'interrogation posée par delphine59, il convient de prendre : soit z_0=x_0+iy_0
(a+ib)^2=z_0 et (a+ib)=\bar{z_0}.  Ainsi,
a^2-b^2=x_0     a^2-b^2=x_0
2ab=y_0         2ab=-y_0
Il vient alors,
a^2-(\frac{y_0}{2a})^2-x_0=0 et a^2-(\frac{-y_0}{2a})^2-x_0=0
4a^4-4a^2x_0-y_0=0 et 4a^4-4a^2x_0-y_0=0, soit les deux mêmes équations.
C'est donc au niveau des parties imaginaires que le signe changera.  Dès lors, si -4+5i est solution de u^2=-9-40i, alors -4-5i est solution de u^2=-9+40i
Voilà, c'est aussi simple que cela.
Pour répondre à la question de delphine59, (4+5i)^2=(-4-5i)^2 car ce sont des complexes opposés et leurs carrés sont donc égaux.
Attention au développement de (a+b)^2 et de (a-b)^2.  Dans ce dernier, il faut laisser le signe - en considérant b comme nombre positif.
A+


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