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Terminale S : Etude fonction expon entielle
Soit la fonction f(x)= x/(1+e^(1/x)) dont il faut étudier le sens de variation.
Le domaine de définition serait R avec x différent de 0.
Les limites :
* quand x tend vers zero alors (f(x) tend vers zéro (donc f(x) pourrait être définie par continuité par f(0)=0),
* quand x tend vers -l'infini f(x) tend vers -l'infini,
* quand x tend vers +l'infini f(x) tend vers +l'infini.
Dérivée :
la fonction est de la forme U/V et on trouve que f'(x) = 1+e^(1/x)+[e^(1/x)/x].
Jusqu'ici, tout ceci est du niveau de terminale S.
Ce qui pose problème est l'étude du signe de cette dérivée (sauf sur ]0,+l'infini[ où elle est manifestement positive).
Une aide serait bienvenue, merci d'avance.
(sur MAFA traceur de courbes on voit que la fonction semble strictement croissante avec une bizarrerie à zéro + ....).
Bonjour, tout d'abord :
Donc tu as
Après dérivée, j'obtiens
Maintenant tu peux en étudier le signe..
Ah oui j'ai du très mal dormir ! Quelle erreur merci de la souligner Glapion , j'ai lu en vitesse comme d'habitude mon prof me le dit tout le temps 
Bonjour
f(x)= x/(1+e^(1/x))
f'(x)=(1*(1+e^(1/x))-x*((-1/x^2)*e^(1/x))/(1+e^(1/x))^2
du signe de (1*(1+e^(1/x))+((1/x)*e^(1/x)))=e^(1/x)*(e^-(1/x)+1+1/x))
du signe de (e^-(1/x)+1+1/x))=g(x)
g(x)>0 pour tous x donc f croit
Merci de vos réponses.
Pour geeegeee124 :
C'est bien la dérivée que j'ai trouvée écrite différemment mais la question qui tue est :
"quelle est la justification de l'affirmation g(x) >0 ?????????????";
rappel : on est sur R moins {0} donc à gauche de 0 1/X est négatif .....
Bonne soirée à tous.
PS : pourquoi je ne reçois pas les notifications des réponses dans mon mail ?
La dérivée f '(x), dont tu as donné l'expression dans ton premier message, est toujours positive quand x est négatif.
Pour le montrer, tu pourrais étudier les variations de cette dérivée et la dériver (f "(x) ).
Tu verras que f "(x) s'annule pour une certaine valeur de x et que f '(x) passe alors par un minimum d'ordonnée positive.
Bonsoir Priam,
Merci de la réponse mais je pense que l'étude algébrique du signe de la dérivée seconde est encore plus difficile que cette étude pour la dérivée première mais admettons.
Cette dérivée seconde sauf erreur de ma part est f''(x)=e^(1/x)[(-1-2x)/x^3] et je ne sais toujours comment ALGEBRIQUEMENT déterminer le signe de f''(x) pour en déduire le sens de variation de f'(x).
Mais si quelqu'un a la démonstration algébrique (à part dire "on voit que ..."qui n'est pas très algébrique) je suis preneur, merci d'avance.
Enfin tout ça me parait un peu compliqué pour un exercice de terminale S (je n'ai jamais vu étudier le signe d'une dérivée en passant par la dérivée seconde à ce niveau d'étude).
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