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terminale S spé MATH
Bonjour aidez-moi svp c'est pour vendredi
On considère les suites (xn) et (yn) définies par x0=stous les xn et ; y0= 8 et
n(n+1)=(7/3)xn+(1/3)yn+1
y(n+1)=(20/3)xn+(8/3)yn+5
1) Montrer par récurrence que les points Mn de coordonnées (xn ;yn) sont sur la droite delta dont une équation est 5x-y+ 3=0.Exprimer x(n+1) en fonction de xn.
2) Montrer par récurrence que pour tous les xn et tous les yn sont des entiers naturels.
3) Montrer que si xn est divisible par 3, alors yn est divisible par 3.
4) Montrer par récurrence que xn=(1/3)(4^n multiplié par 5-2). En déduire que 4^n multiplié par 5- 2 pour tout entier natuel n
1) . vrai pour n=0
( je supose car tu ne donnes pas x0)
. si vrai au rang n, c'est à dire 5xn-yn+3=0
calulons
5x(n+1)-y(n+1)+3=35/3 xn+5/3yn+5-20/3 xn- 8/3yn-5+3
=5xn-yn+3
=0 par d'après hyp de réc
.conclusion....
ainsi
x(n+1)=(7/3)xn+(1/3)yn+1=(7xn+yn+3)/3
or5xn-yn+3=0 donc yn=5xn+3
donc x(n+1)=(7xn+5xn+3+3)/3=4xn+2
2). vrai pour n=0
( je supose car tu ne donnes pas x0)
. si vrai au rang n, c'est à dire xn entier naturel comme x(n+1)=4xn+2 c'est aussi un entier nat...
et comme yn=5xn+3...........
3) facile avec yn=5xn+3
4)). vrai pour n=0
( je supose car tu ne donnes pas x0)
. si vrai au rang n de x(n+1)=4xn+2 on déduit
x(n+1)=4*1/3(5*4^n-2)+2=1/3*5*4^(n+1)-8/3+2
=1/3*5*4^(n+1)-2/3
=1/3(5*4^(n+1)-2)
...........
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