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terminé_rediger_limites_niveau 1re

Posté par
malou Webmaster
11-01-16 à 10:23

Bonjour
à rédiger, de préférence en Ltx pour la partie maths, mais pas pour le texte, 5 exos sur les limites
cela peut être un à la fois bien sûr , car ça risque d'être un peu long

cinq exercices sur les limites avec initiation aux dérivées

l'auteur a osé appelé l'existant "correction " ! j'ai cru qu'il y avait eu un bug sur la fiche, mais non....

Posté par
Tintin
re : rediger_limites_niveau 1re 11-01-16 à 14:48

Bonjour,
j'aimerai apporter mon aide, malheureusement je ne sais pas comment faire pour modifier une fiche. Pourriez-vous m'indiquer où cliquer ?
Je vous en remercie par avance.

Posté par
malou Webmaster
re : rediger_limites_niveau 1re 11-01-16 à 19:19

Bonjour Tintin, et merci de la proposition
tu postes ici la rédaction et je récupère ensuite ...
tu peux poster en plusieurs fois bien sûr !
Bonne soirée

Posté par
malou Webmaster
re : rediger_limites_niveau 1re 11-01-16 à 20:15

si tu es à l'aise avec Ltx et des interfaces un peu "bizarroïdes", j'ai ouvert la fiche à la correction.
Tu vas dans ton espace membre en cliquant sur ton pseudo, en haut vers la droite tu as "contribuer"
puis page suivante "proposer une contribution"
s'ouvre une boîte de dialogue
choisir /correction / niveau 1re / tu choisis : "5 exercices sur les limites avec initiation aux dérivées"
tu valides et ensuite tu peux écrire en cliquant sur sur le crayon bleu
bon courage !
si tu as des ennuis dis le moi

Posté par
Tintin
re : rediger_limites_niveau 1re 12-01-16 à 16:17

Merci pour toutes ces infos. Je vais voir tout ça d'ici ce weekend

Posté par
Tintin
re : rediger_limites_niveau 1re 12-01-16 à 18:28

Bonjour,
voici une proposition de correction pour l'exercice 1:

Citation :
Pour f1:
On étudie la limite de chacun des termes
 \\ \lim_{x\to +\infty} x^2= +\infty \\ \lim_{x\to +\infty} 3x = +\infty \\ \lim_{x\to +\infty} 5 = 5
Puis en utilisant le tableau des opérations sur les limites (somme) on trouve que \lim_{x\to +\infty}x^2+3x+5= +\infty

Pour f2:
En utilisant le même raisonnement on trouve que
\lim_{x\to +\infty}2x^3+5x^2+4x+1= +\infty

Pour f3:
Ici, si on utilise la même méthode on tombe sur une forme indéterminée car \lim_{x\to +\infty}x^2= +\infty et  \lim_{x\to +\infty}-5x= -\infty
Pour contourner ce problème on factorise par le terme de plus haut degré. On obtient donc que  f_3(x) = x^2 - 5x + 4 = x^2(1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2})
On étudie ensuite la limite de chacun des facteurs:
\lim_{x\to +\infty}x^2= +\infty
\lim_{x\to +\infty}1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}=1 (car \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x}= 0 et \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^2}= 0)
Puis en utilisant le tableau des opérations sur les limites (produit) on trouve que
\lim_{x\to +\infty}x^2 - 5x + 4 = +\infty

Pour f4:
On retrouve le même genre d'indétermination. En utilisant la même méthode on trouve que
 f_4(x) = 2x^3 - 4x^2 + 7x +1=x^3(2-\frac{4}{x}+\frac{7}{x^2}+\frac{1}{x}
On a alors
\lim_{x\to +\infty} 2x^3 - 4x^2 + 7x +1 = +\infty

Qu'en pensez-vous ? Faut-il plus d'explications ?       FAIT

Posté par
malou Webmaster
re : rediger_limites_niveau 1re 12-01-16 à 18:32

non, c'est OK ça , pas davantage
c'est suffisant

Citation :
Pour contourner ce problème

on obtient une forme indéterminée ; pour lever cette indétermination....
impec !
bon courage

Posté par
Tintin
re : rediger_limites_niveau 1re 12-01-16 à 19:09

Bonsoir,
je viens de voir une erreur d'étourderie. Il manque une parenthèse pour la factorisation de f4. Voici le morceau corrigé:

Citation :

 f_4(x) = 2x^3 - 4x^2 + 7x +1=x^3(2-\frac{4}{x}+\frac{7}{x^2}+\frac{1}{x})

Posté par
malou Webmaster
re : rediger_limites_niveau 1re 12-01-16 à 19:12

t'inquiète pas trop pour une simple parenthèse, je regarde !...et au final je te demanderai une relecture complète de la fiche une fois la mise en page faite
(car le Ltx du forum et celui de l'interface des fiches a qq différences)
merci !

Posté par
Tintin
re : rediger_limites_niveau 1re 15-01-16 à 17:28

Des différences de latex ?
Voici la correction de l'exercice 2:

Citation :
Pour f:
On étudie la limite de chacun des termes.
\lim_{x\to +\infty} 3x^2= +\infty
\lim_{x\to +\infty} 5x = +\infty
\lim_{x\to +\infty} -7 = -7
On en déduit donc la limite de f grâce au tableau des opérations sur les limites:
\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty

Pour g:
On se retrouve ici face à une forme indéterminée. Pour lever l'indétermination on factorise par le terme de plus haut degré. On trouve alors que g(x)=x^2(7-\frac{11}{x} + \frac{3}{x^2})
On étudie ensuite la limite de chaque facteur:
\lim_{x\to +\infty} x^2=+\infty
\lim_{x\to +\infty} 7-\frac{11}{x} + \frac{3}{x^2} = 7 (car  \lim_{x\to +\infty}\frac{11}{x}= 0 et \lim_{x\to +\infty}\frac{3}{x^2}=0)
Puis on trouve la limite de g grâce au tableau des opérations sur les limites:
\lim_{x\to +\infty} g(x) = +\infty

Pour h:
On est ici encore face à une forme indéterminée. En effet:
\lim_{x\to +\infty} 2x+1= +\infty
\lim_{x\to +\infty} x-1 = +\infty
On utilise donc la même astuce pour lever l'indétermination: on factorise par le terme de degré le plus haut.
On a alors que h(x)= \frac{ 2+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}
On peut à présent étudier la limite du numérateur et du dénominateur indépendamment:
\lim_{x\to +\infty}  2+\frac{1}{x}=2
\lim_{x\to +\infty}1-\frac{1}{x}= 1
Et on trouve la limite de h grâce au tableau des opérations sur les limites:
\lim_{x\to +\infty} h(x)= \frac{2}{1}=2


FAIT

Posté par
malou Webmaster
re : rediger_limites_niveau 1re 23-01-16 à 16:54

Bonjour Tintin, voilà tout est recopié. Merci !
tu poursuis ou tu veux que je demande de l'aide sur cette fiche pour la suite ?

Posté par
Tintin
re : rediger_limites_niveau 1re 25-01-16 à 17:19

Merci. Attention, tu as oublié une balise de citation à la fin de la correction de l'exercice 2.
Excuse moi pour mon manque de rapidité dans la correction... Je vais essayer de finir le reste pour la fin de la semaine. Je travaille actuellement sur la correction du 5.
J'ai quelques question pour les autres exercices: Pour le troisième exercice, il faut tracer une courbe, quel outils recommandes-tu ? Pour le quatrième exercice, puis-je utiliser les dérivées ? (je ne sais plus si c'est au programme...)

Posté par
malou Webmaster
re : rediger_limites_niveau 1re 25-01-16 à 19:13

- ok, je remettrai la balise manquante
- aucun souci pour la rapidité ou la non rapidité...chacun fait à son rythme, et cela ne gêne absolument pas ! et j'ai plein d'autres choses à gérer....t'inquiète pas
- pour les courbes j'utilise geogebra
- oui, pour utiliser les dérivées, pas de souci, en 1re, c'est bon
Bon courage et merci pour ton aide !

Posté par
Tintin
re : rediger_limites_niveau 1re 26-01-16 à 18:52

Et voici une proposition de correction pour le 5. Je dois bien reconnaître qu'il m'a fallu un peu de temps pour trouver la limite du dernier sans utiliser d'équivalents... Il est donc possible qu'une solution plus simple existe. Si vous avez des propositions n'hésitez pas !

Citation :
Pour f:x \rightarrow 3x^2+2x-5
Pour la limite en -1:
\lim_{x\to -1} 3x^2= 3
\lim_{x\to -1} 2x= -2
\lim_{x\to -1} -5= -5
D'où, d?après le tableau des operations sur les limites,  \lim_{x\to -1} f(x)= 3-2-5=-4

Pour la limite en +\infty. On sait que:
\lim_{x\to +\infty} 3x^2= +\infty
\lim_{x\to +\infty} 2x= +\infty
\lim_{x\to +\infty} -5= -5
D'où, d?après le tableau des operations sur les limites,  \lim_{x\to +\infty} f(x)= +\infty

Pour la limite en -\infty on est face à une forme indéterminée. On factorise alors par le terme de plus haut degrés. On obtient alors que f(x)=x^2(3+\frac{2}{x}-\frac{5}{x^2})
On peut à présent déterminer cette limite. On sait que:
\lim_{x\to -\infty} 3=3
\lim_{x\to -\infty} \frac{2}{x}= 0
\lim_{x\to -\infty} \frac{5}{x^2}= 0
\lim_{x\to -\infty} x^2=+\infty
On en déduit, d?après le tableau des opérations sur les limites,  que \lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty   FAIT


Pour f:x \rightarrow \frac{2x-1}{x-1}:
Pour la limite en +\infty. On est face à une forme indéterminée. On factorise donc par le terme de facteur le plus élevé. On trouve alors que f(x)=\frac{x(2-\frac{1}{x})}{x(1-\frac{1}{x})}= \frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}
On peut alors étudier la limite du dénominateur et du numérateur indépendamment. On trouve alors que \lim_{x\to +\infty} \frac{2-\frac{1}{x}}=2 et que \lim_{x\to +\infty} 1-\frac{1}{x}=1
D?où, d?après le tableau des opérations sur les limites, \lim_{x\to +\infty} \frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} = \frac{2}{1}=2

Pour la limite en -\infty, on retrouve encore une indétermination. On étudiera donc la limite de f sous forme factorisée. On sait que :
\lim_{x\to -\infty} \frac{2-\frac{1}{x}}=2
\lim_{x\to -\infty} 1-\frac{1}{x}=1
D?où, d?après le tableau des opérations sur les limites, \lim_{x\to -\infty} \frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x} }= \frac{2}{1}=2

Pour la limite en 1:
On sait que \lim_{x\to 1} 2x-1=1 et que \lim_{x\to 1} x-1=0
D?où, d?après le tableau des opérations sur les limites,
\lim_{x\to 1^+} f(x)=+\infty (limite à droite)
\lim_{x\to 1^-} f(x)=-\infty (limite à gauche)
FAIT


Pour f:x \rightarrow \sqrt{x^2+x}-3x FAIT
Pour la limite en +\infty, on est face à une forme indéterminée. On factorise alors par x^2 dans la racine.
On a alors \sqrt{x^2+x}=\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}=x}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}}
Par conséquent  f(x)= |x|\sqrt{1+\frac{1}{x}}-3x
Or pour x > 0, on a |x|=x
D?où f(x)= x(\sqrt{1+\frac{1}{x}} -3) . On sait que :
\lim_{x\to +\infty} \sqrt{1+\frac{1}{x}} = \sqrt{1}=1
\lim_{x\to +\infty} -3 = -3
D?où, d?après le tableau des opérations sur les limites, \lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty

Pour la limite en -\infty :
On a ici que pour x < 0, on a |x|=-x
D?où f(x)= x(-\sqrt{1+\frac{1}{x}} -3)
\lim_{x\to -\infty} -\sqrt{1+\frac{1}{x}} = -\sqrt{1}=-1
\lim_{x\to -\infty} -3 = -3
D?où, d?après le tableau des opérations sur les limites, \lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty


Pour f:x \rightarrow \sqrt{x^2+x}-x: FAIT
On retrouve ici le même genre d?énoncé que précédemment. On peut donc penser à factoriser de la même manière. On trouve alors que  f(x)= |x|\sqrt{1+\frac{1}{x}}-x
Pour la limite en -\infty :
On a ici que pour x < 0, on a |x|=-x
D?où f(x)= x(-\sqrt{1+\frac{1}{x}} -1)
On sait que \lim_{x\to -\infty} -\sqrt{1+\frac{1}{x}}-1 = -\sqrt{1}-1=-2
D?où, d?après le tableau des opérations sur les limites, \lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty

Pour la limite en +\infty :
On ne peut pas ici partir de la forme factorisée car on retomberait encore sur une forme indéterminée. Pour pouvoir étudier cette limite on peut penser à multiplier f par \frac{\sqrt{x^2+x}+x}{\sqrt{x^2+x}+x} (on a donc multiplié par 1)
On trouve alors que
 f(x)= (\sqrt{x^2+x}-x) . \frac{\sqrt{x^2+x}+x}{\sqrt{x^2+x}+x}= \frac{2x}{|x|\sqrt{1+\frac{2}{x}}+x}
Or pour x > 0, on a |x|=x
D?où  f(x)= \frac{2}{ \sqrt{1+\frac{2}{x}}+1 }
On sait que : \lim_{x\to +\infty} \sqrt{1+\frac{2}{x}}+1 = 2
D?où, d?après le tableau des opérations sur les limites, \lim_{x\to -\infty} f(x) = \frac{2}{2}=1

Posté par
malou Webmaster
re : rediger_limites_niveau 1re 26-01-16 à 19:07

je lirai bien sûr, mais rien qu'à survoler, je pense que tu as utilisé la seule méthode possible pour des 1re !
merci !

Posté par
Tintin
re : rediger_limites_niveau 1re 26-01-16 à 21:38

Je te souhaite bon courage pour relire tout ça!
Je viens de voir une petite erreur dans la toute dernière limite: c'est bien en +\infty et pas -\infty. C'est ça quand on joue avec les copier-coller ...

Posté par
littleguy
re : rediger_limites_niveau 1re 27-01-16 à 17:00

Bonjour,

Je n'ai regardé que les deux dernières du 5 qui semblaient poser problème à tintin.

En -, il n' y a aucun souci pour les deux : le terme sous le radical tend vers +,  le -x et le -3x aussi, donc on a immédiatement la limite.

En + :

f(x)=\sqrt{x^2+x}-3x=\dfrac{(\sqrt{x^2+x}-3x)(\sqrt{x^2+x}+3x)}{\sqrt{x^2+x}+3x}

donc f(x)=\dfrac{-8x^2+x}{\sqrt{x^2+3x}+x} FAIT

Et une factorisation comme celle suggérée par tintin conduit à -


Pour l'autre :
f(x)=\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}

donc f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}

Et on obtient cette fois-ci 1/2. FAIT

A vérifier bien sûr...

Posté par
Tintin
re : rediger_limites_niveau 1re 27-01-16 à 20:53

En effet, il semblerait que j'ai fait une erreur de calcul... Merci pour ton aide

Posté par
malou Webmaster
re : rediger_limites_niveau 1re 29-01-16 à 16:19

je pense avoir tout repris

Posté par
Tintin
re : rediger_limites_niveau 1re 29-01-16 à 17:09

Voici un proposition pour l'exercice 4:

Citation :
1.a) On se propose ici de démontrer que pour x\ge 3 on a f(x) \ge x. Pour cela on étudie la fonction g:x\rightarrow f(x)-x
On a donc g(x)= x^2-4x+3
En dérivant g on trouve g'(x)=2x-4
On étudie ensuite le signe de la dérivée de g pour connaitre les variations de g.
g'(x)\ge 0
 \\ \Longleftrightarrow 2x-4 \ge 0
 \\ \Longleftrightarrow x \ge 2
On peut alors dresser le tableau de variations de g:
\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&2&&+\infty \\{signe  de  g'(x)}& &-&0&+& \\{variation  de  g}&&\searrow&-1&\nearrow&&\end{array}
On trouve donc que la fonction g est croissante pour x \in [2, +\infty[
Or g(3)=0
Donc pour tout x\ge3 on a g(x)\ge 0, c'est à dire f(x)-x\ge 0
D'où f(x)\ge x.

\lim_{x\to +\infty} x = +\infty
Or f(x)\ge x
D'après le théorème de majoration on a donc que \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty

b) Montrons que pour x\le 1, on a f(x)\ge x^2.
On raisonne par équivalents:
f(x)\ge x^2
 \\ \Longleftrightarrow x^2-3x+3 \ge x^2
 \\ \Longleftrightarrow -3x+3 \ge 0
 \\ \Longleftrightarrow x\le 1
On a donc bien montré que pour x\le 1, on a f(x)\ge x^2.

Or \lim_{x\to -\infty} x^2 = +\infty
Par théorème de minoration on a donc  \lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty

2. Soit f:x\rightarrow \frac{x^2}{x^2+1}
On a
|f(x) -1|= |\frac{x^2}{x^2+1} - 1|
 \\ =|\frac{x^2}{x^2+1}- \frac{x^2+1}{x^2+1}|
 \\ =|\frac{-1}{x^2+1}|
 \\ =\frac{|-1|}{|x^2+1|}
 \\ = \frac{1}{x^2+1}

Par ailleurs pour tout x on a:
x^2+1 \ge x^2
En appliquant la fonction inverse, on trouve donc que:
\frac{1}{x^2+1} \le \frac{1}{x^2}
On a donc bien montré que |f(x) -1| \le \frac{1}{x^2}

Or \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0
donc  \lim_{x\to +\infty} |f(x) -1| = 0
d'où \lim_{x\to +\infty} f(x)  = 1

De même on montre que \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x^2} = 0
donc  \lim_{x\to -\infty} |f(x) -1| = 0
d'où \lim_{x\to -\infty} f(x)  = 1  

Il ne reste plus que le 3.

Posté par
Tintin
re : rediger_limites_niveau 1re 30-01-16 à 10:48

Et pour finir le 3:

Citation :
1. Cf image jointe au message

2. Je pense qu'ici il y a une erreur d'énoncer étant donné la correction proposée...Soit on applique la "loi horaire" aux temps 1 et 3 et on trouve les 2 abscisses du point M en ces points. Soit on calcule la vitesse du point M entre les temps 1 et 3. Dans le doute je fais les deux. A toi de choisir
Pour la loi horaire, on sait que c'est une fonction  t \rightarrow t^2+t+1
On applique donc cette fonction à 1 et à 3 et on trouve:
x(1)=3 \\ x(3)=13
Pour le calcul de vitesse, on sait que la vitesse est définie par la relation suivant: v=\frac{d}{t}, ooù d est la distance parcourue et t le temps qu'il a fallu pour parcourir d. Entre les temps 1 et 3, le point M s'est déplacé de: x(3)-x(1). On a donc v= \frac{x(3)-x(1)}{3-1}=5 m/s

3. On utilise ici a même relation pour v. La distance parcourue entre les temps 2 et 2+h est x(2+h)-x(2). En remplaçant d et t dans v on trouve:
v=\frac{x(2+h)-x(2)}{2+h-2} \\ = \frac{(2+h)^2+2+h+1-(2^2+2+1)}{h} \\ = \frac{4+4h+h^2+2+1-4-2-1}{h} \\ = \frac{5h+h^2}{h} \\ = 5+h

4. D'après l'indication, en remplaçant t0par 2, on sait que la vitesse instantanée au point 2 est v=\frac{x(2+h)-x(2)}{h} avec h qui tends vers 0
Grâce à la question précédente, on a que v=5+h
Or \lim_{h\to 0} 5+h = 5
D'où la vitesse instantanée au point 2 est 5 m/s


rediger_limites_niveau 1re

FAIT

Posté par
malou Webmaster
re : rediger_limites_niveau 1re 29-03-16 à 18:26

je crois que j'ai fini !
j'ai eu du mal à m'y remettre celui là !
ouf !

Posté par
Tintin
re : terminé_rediger_limites_niveau 1re 29-03-16 à 19:30

Le principal c'est que ce soit complet.
Si jamais tu en as d'autres n'hésite pas à me re-demander

Posté par
malou Webmaster
re : terminé_rediger_limites_niveau 1re 29-03-16 à 20:26

Merci pour ta proposition , bonne soirée à toi !



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