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Terminé_second degré_niveau 1re

Posté par
malou Webmaster 13-01-16 à 08:42

Bonjour
résolution d'équations du second degré, pour débuter
pour insister aussi sur le fait qu'on n'est pas obligé de se jeter sur les formules avec
un regroupement de fiches, ancienne jamais parue et ancienne en ligne, dont seuls deux exercices sont corrigés
1-Polynômes : définition, identification, factorisation, équations

si quelqu'un peut mettre son nez dedans ...
Merci

Posté par
Labore : second degré_niveau 1re 13-01-16 à 11:20

Exercice 1
a)
3x^2+5x=0 \\ x(3x+5)=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
x=0  ou  3x+5=0 \\ x=0   ou    x=-\dfrac{5}{3}
S={-\dfrac{5}{3};0}
b)
9x^2-1=0 \\ (3x-1)(3x+1)=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
3x-1=0  ou   3x+1=0 \\ \\ x=\dfrac{1}{3}  ou   x=-\dfrac{1}{3}

S={-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}}
c
(x+1)(x-2)>5(x+1)^2 \\ (x+1)(x-2)-5(x+1)^2>0 \\ (x+1)(x-2-5(x+1))>0 \\ (x+1)(-4x-7)>0 \\ (x+1)(-4x-7)=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
(x+1)=0    ou    (-4x-7)=0
x=-1  ou    x=-\dfrac{7}{4}
Un trinôme ax^2+bx+c est du signe de a à l'extérieur des racines
x\times (-4x)=-4x^2
a=-4 <0
donc  (x+1)(x-2)-5(x+1)^2>0   si   -\dfrac{7}{4}<x<-1

S={]-\dfrac{7}{4};-1[}

Exercice 2
a)
f(x)=(3x^2+1)(2x^2-5) =6x^4 -13x^2-5
f est une fonction polynôme  de degré  4
b)
g(x)=\dfrac{x^2-5x}{x}  =\dfrac{x(x-5)}x}  ,définie sur \mathbb{R}^*
g(x)=x-5  
g est une  fonction polynôme de degré 1
c)
h(x)=\dfrac{x^3+3x}{x^2+3}=\dfrac{x(x^2+3)}{x^2+3}=x définie sur \mathbb{R}
h est une fonction polynôme de degré 1

???les  parenthèses { et } n 'apparaissent pas pour les ensembles S

FAIT

Posté par
malou Webmasterre : second degré_niveau 1re 13-01-16 à 11:24

pour les accolades, ai eu le pb hier
j'ai utilisé
\lbrace et \rbrace
et ça a fonctionné

Posté par
Labore : second degré_niveau 1re 13-01-16 à 12:06

Exercice 1
a)
3x^2+5x=0 \\ x(3x+5)=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul

x=0  ou  3x+5=0 \\ x=0   ou    x=-\dfrac{5}{3}
S=\lbrace-\dfrac{5}{3};0}\rbrace
b)
9x^2-1=0 \\ (3x-1)(3x+1)=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul

3x-1=0  ou   3x+1=0 \\ \\ x=\dfrac{1}{3}  ou   x=-\dfrac{1}{3}

S=\lbrace-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\rbrace
c
(x+1)(x-2)>5(x+1)^2 \\ (x+1)(x-2)-5(x+1)^2>0 \\ (x+1)(x-2-5(x+1))>0 \\ (x+1)(-4x-7)>0 \\ (x+1)(-4x-7)=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
(x+1)=0    ou    (-4x-7)=0
x=-1  ou    x=-\dfrac{7}{4}
Un trinôme ax^2+bx+c est du signe de a à l'extérieur des racines
x\times (-4x)=-4x^2
a=-4 <0
donc  (x+1)(x-2)-5(x+1)^2>0   si   -\dfrac{7}{4}<x<-1

S=\lbrace]-\dfrac{7}{4};-1[\rbrace

Exercice 2
a)
f(x)=(3x^2+1)(2x^2-5) =6x^4 -13x^2-5
f est une fonction polynôme  de degré  4
b)
g(x)=\dfrac{x^2-5x}{x}  =\dfrac{x(x-5)}x}  ,définie sur \mathbb{R}^*
g(x)=x-5  
g est une  fonction polynôme de degré 1
c)
h(x)=\dfrac{x^3+3x}{x^2+3}=\dfrac{x(x^2+3)}{x^2+3}=x définie sur \mathbb{R}
h est une fonction polynôme de degré 1

Posté par
Labore : second degré_niveau 1re 13-01-16 à 15:31

Exercice 3
a)
x^2-6x+5=0
racine évidente  x_1=1  
produit des racines \dfrac{c}{a}=5  
d'où x_2=5
S=\lbrace1;5\rbrace \\ \\  
b)
2x^2+x+8=0
\Delta <0  car  ac>1
pas de racines
l'equation n'admet pas de solutions.
c)
-x^2+6x+2=0
équivaut à
-0,5x^2+3x+1=0
\Delta=3^2+0,5\times 4=11 \\ x_1=3-\sqrt{11} \\ x_2=3+\sqrt{11}
S=\lbrace 3-\sqrt{11};3+\sqrt{11}\rbrace \\
Exercice 4
3x^3-2x^2+4x-5=(x-1)(ax^2+bx+c)
Si  deux polynômes P et Q sont égaux ,alors  les coefficients  des termes  de même degré de P et Q sont  égaux
(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3-ax^2+bx^2-bx+cx-c=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c \\
3x^3-2x^2+4x-5=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c
on obtient un système à résoudre
\left\lbrace\begin{array}l 3x^3=ax^3 \\-2x^2=(-a+b)x^2 \\4x=(-b+c)\\-c=-5\end{array}

\left\lbrace\begin{array}l 3=a \\-2=-a+b \\4=-b+c\\c=5\end{array}

\left\lbrace\begin{array}l a=3 \\b=-2+3 \\b=-4+5\\c=5\end{array}

\left\lbrace\begin{array}l a=3 \\b =1\\c=5\end{array}  
d'où
3x^3-2x^2+4x-5=(x-1)(3x^2+x+5)

Exercice 5

f(x)=\dfrac{2x^2+3x-5}{x^2+x-2}
la fonction f est définie si et seulement si x^2+x-2\neq 0
déterminons les racines de x^2+x-2=0
racine évidente x_1=1   car 1+1-2=0
or  x_1\times x_2=\dfrac{-2}{1}  d'où   x_2=-2
f est définie sur  \mathbb{R}      \    \lbrace -2;1\rbrace
1 et 2 étant les racines du trinôme x^2+x-2,   donc  le trinôme peut être factorisé:
ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)
x^2+x-2=(x-1)(x+2)
f est simplifiable  si 1 ou -2  sont  racines de 2x^2+3x-5
1 est une racine évidente de   2x^2+3x-5   car 2+3-5=0
déterminons x_2
or x_1\times x_2=1\times x_2=x_2=\dfrac{-5}{2}
le trinôme admet deux racines , sa factorisation vaut
2x^2+3x-5=2(x-1)(x+\dfrac{5}{2})=(x-1)(2x+5)
le numérateur et le dénominateur ont le facteur (x-1) en commun , simplifions
d'où
f(x)=\dfrac{(x-1)(2x+5)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{2x+5}{x+2} \\
f(x) =\dfrac{2x+5}{x+2} sur   \mathbb{R}    \   \lbrace -2;1\rbrace

FAIT

Posté par
Labore : second degré_niveau 1re 13-01-16 à 18:38

Exercice  6
a)
P(x)=ax^2+bx+c \\ P(-1)=0    et    P(4)=0     et      P(x)>0     si  -1<x<4
le polynôme admet   deux racines   donc  le discriminant  est  strictement positif ,et a est  strictement négatif  puisque le polynôme  est positif, donc du signe opposé de a entre les racines
b) comme 1 et 4 sont les racines , alors on peut factoriser P  ,par (x-(-1))et (x-4)
P(x)=a(x+1)(x-4)
a\neq 0
\dfrac{1}{a}P(x)=\dfrac{1}{a}\times a(x+1)(x-4)=(x+1)(x-4)

c)
P(2)=2^2a+2b+c=4a+2b+c=27
d'après le 1)
\dfrac{-b}{a}=-1+4=3     d'où  b=-3a
\dfrac{c}{a}=-1\times 4=-4   d'où  c=-4a
donc
4a+2b+c=4a-6a -4a=27 \\ -6a=27 \\ a=\dfrac{-27}{6}=-\dfrac{9}{2}=-4,5 \\ b=-3\times \dfrac{-9}{2}=\dfrac{27}{2}=13,5 \\ c=-4\times \dfrac{-9}{2}=18
d'où l'expression du polynôme

P(x)=-4,5x^2+13,5x+18

Posté par
Labore : second degré_niveau 1re 13-01-16 à 18:56

Exercice 9
P(x)=(m^2-4)x^3+(m-2)x^2+x-7 \\ P(x)=(m-2)(m+2)x^3+(m-2)x^2+x-7 \\ P(x)=(m-2)[(m+2)x^3+x^2]+x-7

si m-2=0    alors    m=2    et
P(x)=x-7  
le polynôme  est de degré 1

  si m+2=0    alors    m=-2   et
P(x)=(m-2)x^2+x-7
le polynôme  est de degré 2

pour tout m appartenant à \mathbb{R} \  \lbrace-2;2\rbrace
P(x)=(m^2-4)x^3+(m-2)x^2+x-7
le polynôme est de degré 3

FAIT

Posté par
littleguyre : second degré_niveau 1re 18-01-16 à 14:33

Bonjour Labo

Je n'ai pas tout lu, juste quelques remarques ou suggestions (à prendre ou à laisser) :

- Dans l'exercice 1, au c) une fois arrivé à (x+1)(-4x-7)>0 on pourrait peut-être aussi leur rappeler qu'un tableau de signes permet de conclure.

- dans l'exercice 2, g n'est pas une fonction polynôme (g n'est pas définie en 0)

- dans l'exercice 4, puisqu'il s'agit d'égalités sur les coefficients, les x² et les x ne doivent pas figurer dans le système à résoudre.

En tout cas, bravo pour le travail !

FAIT

Posté par
Labore : second degré_niveau 1re 18-01-16 à 14:54

Bonjour, littleguy
Merci  pour tes remarques et corrections.
Bravo  pour tes enigmes, j' 'y jette un oeil mais  je n'aime pas le poisson!

Posté par
littleguyre : second degré_niveau 1re 19-01-16 à 12:40

Encore moi.

Pour l'exercice 3 b) l'argument " < 0 car ac > 1" peut être mal interprété (certains pourraient être tentés de généraliser...)

Et pour 3 c) pourquoi diviser a priori les deux membres par 2 ? On ne cherche pas la forme canonique du premier ; un calcul direct du discriminant me paraît plus naturel.

Là encore ce n'est que mon avis.

Vu

Posté par
malou Webmasterre : second degré_niveau 1re 21-01-16 à 17:07

bonsoir
je pense avoir tout repris !
vous jetez un oeil ?....merci !
malou

Posté par
littleguyre : Terminé_second degré_niveau 1re 21-01-16 à 17:38

Quelques bricoles :

- au 6)c) pourquoi ne pas garder les coefficients sous formes de fractions :

P(x) =- \dfrac{9}{2}x^2+\dfrac{27}{2}x+18 qu'on peut aussi écrire P(x) = -4,5x²+...

- au 7) j'aurais plutôt écrit  : si m = 2 alors m-2 = 0 et..." (puisqu'on discute selon m)
idem pour le suivant.

- au 8) c)  une fois écrit x^2-2\sqrt{5}x+5=0 on reconnaît une identité remarquable. Mais le calcul de Delta peut bien sûr se faire également.

Posté par
malou Webmasterre : Terminé_second degré_niveau 1re 21-01-16 à 18:00

je viens de modifier en ce sens
en réalité exo 8 et 9 étaient déjà corrigés, tu as eu raison d'aller y mettre ton nez
merci littleguy


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