Annuler
connectez vous
- Un petit rappel de Cours sur le dénombrement - terminale
- Sept Exercices Q.C.M. sur le dénombrement - terminale
- Complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale
- Enseignement scientifique : suite, probabilité, fonction - sujet de bac - terminale
- Enseignement scientifique : suite, probabilité, fonction - sujet de bac - terminale
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Autres ressourcesTopics traitant de Autres ressources [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Tétraèdre trirectangle
Posté par beatricebach
Bonjour à tous,
J'ai un dm à faire et je suis complètement bloquée dès la première question.
(O,i,j,k) est un repère orthonormé de l'espace. p,q,r sont trois nombres réels strictement positifs. P,Q,R sont les points de coordonnées: P(p;0;0), Q(0;q;0) et R(0,0,r)
1/ Déterminer une équation du plan (PQR)
2/ a) Donner une représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan (PQR) passant par le point O.
b) En déduire les coordonnées du point H projeté orthogonal du point O sur le plan (PQR)
c) En déduire que : 1/OH²=1/p²+1/q²+1/r²
3/ En exprimant le volume du tétraèdre OPQR de deux façons, démontrer que "Le carré de l'aire du triangle PQR est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre"
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour
ton plan admet pour équation ax+by+cz+d=0 avec a, b et c non tous les 3 nuls en même temps
écris que tes points P,Q et R appartiennent à ce plan....
Bonjour, tu as même un raccourci, on voit facilement que l'équation du plan est x/p+y/q+z/r=1
Puis pour 2, tu as un vecteur normal au plan (1/p;1/q;1/r) donc très facilement les équations paramétriques de la perpendiculaire.
malou, si je fais ça j'obtiens que p appartient à P si ap+d=0, Q appartient à P si bq+d=0 et R appartient à P si cr+d=0
mais après, je ne vois pas comment déterminer l'équation du plan ...
je bloque complètement sur la question 3 b), je ne comprend pas comment déterminer les coordonnées du point H ..
d peut prendre n'importe quelle valeur (non nulle, sinon, a , b et c seraient nuls en même temps), normal....un plan admet une infinité d'équations ....
tu dois écrire que H appartient à la droite orthogonale (dont tu as déterminé un système d'équations paramétriques juste au dessus)
et H appartient aussi au plan
donc tu dois "injecter" les coordonnées d'un pt qcq de ta droite, dans ton équation de plan, et cela va te donner la valeur du paramètre
et tu en déduiras le point H avec cette valeur trouvée du paramètre
j'arrive à: 1/p*(1/p)*t+(1/q)*(1/q)*t+(1/r)*(1/r)*t=1 donc ((1/p)²+(1/q)²+(1/r)²)*t=1
c'est ça? et après je bloque
oui, c'est ça
et de là tu tires t
bon, pas beaucoup d'intérêt et un peu imbuvable
par contre, tu continues
OH²=x²+y²+z²=t²(1/p² + 1/q²+ 1/r²)
et
si tu remplaces t² par sa valeur trouvée (l'imbuvable à écrire ! ) tu trouves OH² puis 1/OH² comme l'énoncé le préconise
H a pour coordonnées
x= (1/p)*(1/(1/p)²+(1/q)²+(1/r)²)
et on fait pareil pour y et z , on remplace ?
x=t*1/p donc x²=t²*1/p² etc.....
et OH² = x²+y²+z² = t²(1/p²+1/q² + 1/r²) c'est une simple mise en facteur de t²
avant de commencer la dernière question je bloque encore...
lorque qu'on remplace t² par la valeur trouvé, on trouve donc OH²= (1/(1/p²+(1/q²)+(1/r²)))²* ((1/p²)+(1/q²)+(1/r²)) ???
volume = 1/3* base * hauteur relative à cette base
tu peux prendre PQR comme base, et donc la hauteur relative sera OH
tu peux prendre OPQ comme base, et donc la hauteur relative sera OR
par exemple....
tu écris que ces deux volumes sont égaux bien sûr
et tu trouves ton résultat !
si
prends l'inverse !
tu as qq chose du genre
OH²= 1/M² * M = 1/M
1/OH² = M avec M = (1/p²)+(1/q²)+(1/r²)
l'aire de PQR, c'est celle que tu cherches, tu l'appelles A
OH tu connais son carré
et tu remarques que dans ta phrase (dernière question, on ne parle que de carrés)
1/3 * A * OH = ....
puis tu élèves au carré les deux membres, ce sera toujours égal
et tu en tireras A² comme demandé
je suis vraiment désolée mais j'ai vraiment du mal à comprendre comment faire pour cette question
Et comment ensuite on pourra montrer que l'aire du triangle est égale à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre
oui
maintenant, tu écris que tes deux volumes sont égaux
tu en déduis une autre égalité en élevant les deux membres au carré
et si tu ne fais aucune erreur de calcul, c'est bon !
oui, mieux...
A²=(1/OH²)*(p²q²r²/4) oui !
remplace 1/OH² par sa valeur
et multiplie chaque fraction par p²q²r² au numérateur
cela va se simplifier
en multipliant par p²q²r² je ne vois pas comment cela peut se simplifier puisque les dénominateurs ne sont pas les mêmes
mais on a pas le droit de multiplier simplement le numerateur, ca ne fait plus le même résultat sinon
eh dis donc....p²q²r² doit être distribué sur les 3 termes de ta parenthèse
et comment tu fais pour multiplier une fraction par un nombre ! tu multiplies seulement le numérateur !!
si tu multiplies haut et bas, tu obtiens une fraction égale ! mais tu n'as pas multiplié !
oui j'avais oublié de mettre les parenthèses
et une fois qu'on a ce résultat c'est fini ??
car q²r²/4 c'est l'aire au carré de OQR ? et ect...
oui, on dit le carré de l'aire plutôt !
oui, ouf ! fini !
tu as été bien tenace ! c'est bien ! je reconnais que ce n'était pas très marrant à écrire !