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th des accroissements finis et th de Rolle

Posté par
AZER1957 31-05-21 à 19:04

bonjour
priere m aider à faire cet exercice
f definit continue  sur [ab] et à valeur dans  [ab]  tq f(a)<0
montrer qu il existe c de ]ab[ tq f(c)=(a-c)/(b-c)
j ai trouvé un probleme sur la fonction a concidérer pour appliquer le th de Rolle

j ai considéré la fonction g définit  sur  [ab] par g(t)=f(t)-(a-t)/(b-t) mais g n est pas  définie en b je suis bloqué

Posté par
carpediemre : th des accroissements finis et th de Rolle 31-05-21 à 19:23

salut

de toute façon pour appliquer le TAF ou Rolle il faut une fonction dérivable ... ce qui n'est pas dans l'énoncé ...

donc je verrai plutôt le TVI ...

vu que f(a) < 0 je construirai une fonction g telle qu'en b elle dépasse 0 ...

Posté par
larrechre : th des accroissements finis et th de Rolle 31-05-21 à 19:23

Bonjour,

On ne sait rien du signe de f(b) ?

Posté par
AZER1957re : th des accroissements finis et th de Rolle 31-05-21 à 19:29

Salut
l exercice figure dans uns serie  continuité derivabilité  th des valeurs intermédiaires  TAF et th de Rolle
peut  etre qu il fallait utiliser le th des valeurs intermédiaires   donc toutes mes excuses

Posté par
carpediemre : th des accroissements finis et th de Rolle 31-05-21 à 19:46

il n'y a pas de mal ...

ta fonction g est assez classique ... mais vers quoi tend-elle quand t tend vers b ?

Posté par
AZER1957re : th des accroissements finis et th de Rolle 31-05-21 à 19:55

SALUT
le probleme qui se pose essayer de trouver une fonction g tq
g continue en b  et  g(b)>0

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : th des accroissements finis et th de Rolle 31-05-21 à 20:14

Bonjour AZER1975


Citation :
f definit continue sur [ab] et à valeur dans [ab] tq f(a)<0



tu es sûr de l'énoncé ?

Posté par
AZER1957re : th des accroissements finis et th de Rolle 31-05-21 à 20:24

salut
oui l énoncé est correcte

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : th des accroissements finis et th de Rolle 31-05-21 à 20:35

La fonction g que tu as considéré vérifie :


\large \boxed{i} g continue sur [a,b[

\large \boxed{ii} g(a)<0 et \lim_{b^-}g=+\infty


ça ne t'inspire rien ?

Posté par
AZER1957re : th des accroissements finis et th de Rolle 31-05-21 à 20:43

bonjour
si abdelali la fonction g ne figure pas dans l enoncé de l exercice je l ai proposé pour appliquer le TVI mais ca pose un problème  de continuité en b  et en plus il faut que g(b) soit strictement positif
l enoncé de l  exercice est le suivant  
f definit continue  sur [ab] et à valeur dans  [ab]  tq f(a)<0
montrer qu il existe c de ]ab[ tq f(c)=(a-c)/(b-c)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : th des accroissements finis et th de Rolle 31-05-21 à 20:48

Citation :
...et en plus il faut que g(b) soit strictement positif



Et bien ce n'est pas nécessaire : il suffit de montrer qu'il existe un d\in]a,b[ tel que g(d)>0

et comme ça tu pourras ensuite appliquer le TVI à g sur [a,d] Non ?

Posté par
AZER1957re : th des accroissements finis et th de Rolle 31-05-21 à 21:02

vraiment je n ai aucune idée sur la construction de g

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : th des accroissements finis et th de Rolle 31-05-21 à 21:59

C'est une bonne idée de ta part d'introduire la fonction \Large \boxed{t\mapsto g(t)=f(t)-\frac{a-t}{b-t}}

et comme je l'ai dit, elle vérifie :


\large \boxed{i} g continue sur [a,b[

\large \boxed{ii} \large \boxed{g(a)=f(a)<0} et \large \boxed{\textcolor{blue}{\lim_{t\to b^-}g(t)=\lim_{t\to b^-}f(t)-\lim_{t\to b^-}\frac{a-t}{b-t}=f(b)-(-\infty)=+\infty}}


essayes maintenant de traduire l'encadré bleu (en utilisant la définition de la limite) :


\Large \boxed{\forall A>0~,~\exists\alpha>0~,~\forall t\in[a,b[~,~|t-b|<\alpha \Longrightarrow g(t)>A}

Posté par
AZER1957re : th des accroissements finis et th de Rolle 31-05-21 à 22:44

salut

mais g ne serait pas continue en b

Posté par
carpediemre : th des accroissements finis et th de Rolle 31-05-21 à 22:57

carpediem @ 31-05-2021 à 19:46

...

ta fonction g est assez classique ... mais vers quoi tend-elle quand t tend vers b ?

dommage de ne pas m'avoir répondu ...


je pense qu'en terminale on peut simplement demander :

1/ montrer qu'il existe d tel que a < d < b et g(d) = 1000 (par exemple mais toute valeur supérieure strictement à 0 suffit) en utilisant :

a/ g est continue
b/ par l'absurde : si d n'existe pas alors g ne peut tendre vers +oo

(en fait c'est le "TVI généralisé")

2/ appliquer le TVI sur l'intervalle [a, d]

Posté par
AZER1957re : th des accroissements finis et th de Rolle 01-06-21 à 00:57

salut
je m excuse carpediem de ne pas vous répondre car le moment ou j ai vu votre question la réponse etait la  soumise par elhor donc me pardonner je pense ai sérieusement demandé

donc il existe d de ]ab[ tel g(d)>0 sinon  pour tout d de ]ab[ tel g(d)<=0
or on sait que lim g(t) en b- est  +infini
cad     \forall A >0     il existe   \exist \alpha >0   |t-b|<\alpha      implique f(t)> A
     (absurde)
donc il existe d de ]ab[ tel g(d)>0 posons par exemple g(d) =1000

Posté par
AZER1957re : th des accroissements finis et th de Rolle 01-06-21 à 01:05

soit g definie par   g(t)=f(t)-(a-t)/(d-t)  si t different de  d    et    g(d)=1000
on a g(a)g(d)<0 donc il existe c   de   ]ad[    g(c)=0 ce qui donne le resultat
merci  pour votre aide

Posté par
carpediemre : th des accroissements finis et th de Rolle 01-06-21 à 08:31

à 00h57 : c'est un peu mal rédigé mais l'idée est là ...

AZER1957 @ 01-06-2021 à 01:05

soit g définie par   g(t)=f(t)-(a-t)/(d-t)  si t diffèrent de  d    et    g(d)=1000
non : très mal rédigé

posons g(t) = f(t) - (a - t)/(b - t)

alors d'après ce qui précède il existe d tel que g(d) = 1000 par continuité de g
...

Posté par
AZER1957re : th des accroissements finis et th de Rolle 01-06-21 à 10:17


merci

Posté par
breuilre : th des accroissements finis et th de Rolle 01-06-21 à 11:45

Bonjour
trop tard ?
Une idée est de considérer la fonction g(x) = (b-x)f(x) - (a -x). Elle est continue. On prend les valeurs en a et b . TVI.
Est-ce que j'oublie une précaution?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : th des accroissements finis et th de Rolle 01-06-21 à 17:45

Et oui breuil ! c'est beaucoup plus simple comme ça


Citation :
f definit continue sur [ab] et à valeur dans [ab] tq f(a)<0
montrer qu il existe c de ]ab[ tq f(c)=(a-c)/(b-c)


à mon avis l'hypothèse "f à valeurs dans [a,b]" est superflue sauf s'il y a d'autres questions qu'AZER1957 n'a pas posté.


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