Bonjour  vbn
Avant de te donner la solution, montres nous ce que tu as pu faire

Bonjour Mijo

réponse question 1 et 2

1/ prouve que AD/CN = 2/3

les droites (AN) et (DC) sont sécantes en M, les droites (AD) et (CN) sont parallèles donc d'après le théorème de thalès
AD/CN = MD/MC  on MD = 2cm et MC = DC-DM = 5cm-2cm = 3cm

AD/CN = MD/MC = 2/3

2/ calculer BN

on (MC)// (AB) et d'après le théorème de Thales BC/BN = MC/AB BN  x MC = BC x AB
       BN = BC x AB /MC  
       BN = 4 x 5 / 3 = 20/3 7 cm

est-ce que c'est correcte pour les question 1 et 2?

Merci de me répondre

Bonjour vbn
Je réponds peut-être un peu tard, mais ce matin j'étais absent de chez moi.
1/ prouve que AD/CN = 2/3, c'est OK
2/calculer BN
As tu fait une figure à l'échelle, cela t'aurais permis de vérifier que BN n'est pas égal à 7 cm
Si on considère le triangle ABN, d'après Thalès on a : MC/AB=CN/BN=3/5
mais BN=BC+CN=4+CN, donc CN/BN=CN/4+CN=3/5
ou 5CN=3(4+CN), et 5CN-3CN=12, d'où CN=6 et BN=4+6=10 cm, ce que vérifie le tracé
3a- prouve que OD = 2/5AB
As-tu trouvé comment procéder?

Bonjour mijo

Merci de vos explications pour la question 2 , la figure n'est pas à l'échelle

pour la question 3
je n'y arrive pas est-ce qu'on applique le théorème de thalès

les droites (BD) et (AN) sont sécantes en O et (DM)//(AB)
d'après le théorème de thalès
OD/BD=OA/AN=DM/AB

prière m'aider et merci

Voilà ce que j'ai fait
J'ai considéré les triangles semblables AOD et BON
AD/BN=4/10=2/5=OD/0B, mais OB=BD-OD
BD est la diagonale du rectangle ABCD, BD²=AB²+AD²=25+16=41 et BD=√41
OD/(√41-OD)=2/5 et 5*OD=2(√41-OD)
7*OD=12,806 et OD=1,829
Il faudrait avoir 5*OD=10, soit OD=2
C'est là que le bât blesse! OD=1,83 correspond au tracé,alors?
Pourtant je pense que mon raisonnement est bon

Bonjour mijo,

faute de frappe à la question 3a : prouve que OD=2/5OB au lieu de OD=2/5 AB

la réponse de 3a est :
on considère les triangles semblables AOB et BON

AD/BN = 4/10 = 2/5 = OD/OB 5OD=2OB OD = 2/5 OB

question 3b : déduire AC/OB = 7/5

on a AC=BD et BD = OD + OB donc AC=2/5OB + OB AC=7/5 OB

AC/OB = 7/5.

Question 4 : calculer CJ

On a le triangle BDN, I milieu de (DB) et (DN)//(IJ) alors J est le milieu de (BN)

BN=BC+CJ+JN  donc CJ=BN-BC-JN (avec BN=10cm , BC= 4cm et JN inconnu)

on a J milieu de (BN) donc BJ=JN=BN/2 = 10/2 = 5 cm
CJ=BN-BC-JN = 10-4-5 = 1 cm.

Prière de me corriger la rédaction   de la démonstration
Merci d'avance

Bonjour vbn
Cela me paraît correct
Bonne journée